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1、专题14空间向量与立体几何一、知识速览二、考点速览知识点1空间向量的概念及有关定理1、空间向量的有关概念（I）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共线向量（或平行向量）：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一个平面的向量2、空间向量的有关定理（I）共线向量定理：对空间任意两个向量Z,0）,的充要条件是存在实数4,使得G=丸%（2）共面向量定理：如果两个向量,B不共线，那么向量方与向量Z,B共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,y）,使万=Xl+.（3）空间向量基本
2、定理：如果三个向量,几工不共面，那么对空间任一向量万，存在有序实数组x,y,Z,使得P=XQ+韬，其中，q,5,c叫做空间的一个基底.知识点2两个向量的数量积及其运算1、空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量3,在空间任取一点。作况=3,OB=b,则乙408叫做向量Z与坂的夹角，记作G石,其范围是0,用，-*若。r,b=-,则称。与b互相垂直，记作aJLb2非零向量a,b的数量积=卜帆8S.（2）空间向量数量积的运算律结合律：（回石=40孙交换律：ab=ba；分配律：a（b+c）=ab+aC.2、空间向量的坐标表示及其应用设。=3，%,。3)，b=(bM,
3、b3),向量表示坐标表示数量积Crb她+a2b2+印3共线a=b(b0,R)%=bx,a2=b2，c3=by垂直ab=0(a,b0)她+a2b2+aib3=0模FlJa；+ciy夹角(a6,10)-7ah+ahaJ)xcos=J_f_-3a；+a；+a；Qb；+b；+b；知识点3空间中的平行与垂直的向量表示1、直线的方向向量和平面的法向量(I)直线的方向向量：如果表示非零向量Z的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称此向量Z为直线/的方向向量.(2)平面的法向量：直线L,取直线/的方向向量1,则向量叫做平面。的法向量.2、空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线小/2的方向向量分别为*，4
4、4nl/n2O/=n2hiw2w1w2=0直线/的方向向量为7，平面a的法向量为前I/aLmO/W=OIlanm=m平面a,的法向量分别为3,na/nm=maLHWH7=0知识点4利用空间向量求空间角1、异面直线所成角设异面直线。，6所成的角为仇则CoSe=2、直线与平面所成角如图所示，设/为平面。的斜线，ICia=Af9为,与。所成的角,则Sine=卜OSVa,卜,其中1,石分别是直线a,6的方向向量.而-B/1a为/的方向向量，为平面。的法向量，3、二面角若4B,CQ分别是二面角-/的两个平面内与棱/垂直的异面直线，则二面角（或其补角）的大小就是向量荏与丽的夹角，如图.平面。与附目交于直线
5、/,平面Q的法向量为/平面汽的法向量为%,=,则二面角/为。或-9.设二面角大小为9,则ks同=ICoSM=FTi3,如图瓦CIw-IrM知识点5利用空间向量求空间距离1、点到直线的距离已知直线/的单位方向向量为，4是直线/上的定点，P是直线/外一点，设向量处在直线Z上的投影向量为役=m则点P到直线I的距离为“2一（优）2（如图）.2、点到平面的距离已知平面的法向量为,4是平面内的任一点，P是平面。外一点,过点产作则平面的垂线/,交平面于点0,则点P到平面的距离为尸Q=四（如图）.Fl3、线面距和面面距线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。AB（1）直线与平面之间的距离：
6、3 32_三个式子和力口可得+刃+=_/（方+而+PC)= 4 + P + PC = -2( + 6+c),) = ( + 3+c),故选：D= -PA-(PB-PA + PC-PA3、XOP=AP-AO=-PA-AM=-PA-aB+AC)=-PA-(pB-PA+PC-PA)=-PA-PB-PC=-PA+PB+PC,3333、二、证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点（尸，A,6）共线空间四点（M,尸，A,8）共面用=加且同过点PA7=X总+成对空间任一点。，办=次+弟对空间任一点。办=曲+x就+_）磁对空间任一点o,P=x+(-x)b对空间任一点O,P=x+yk+(-y)b【典例1】（20
7、22全国高二专题练习）己知向量q,5，C不共面，AB=4+5+3c*AC=23+cAD=6a+lb+5c-求证：B,C,。三点共线.【答案】证明见解析【解析】因为而二4+5坂+3），AC=2a+3b+cAD=6a+7b+5c所以胚=就一刀=2一+3一+_（4一+51+3一）=_2_2-2c,BD=AD-AB=6+7b+5c-（4a+53cJ=2+25+2c,所以肥=一而，所以前前,乂8为公共点，所以8,C,。三点共线.【典例2】（2022全国高三专题练习）如图，在平行六面体45C。-4AGA中，Cfi=IEC1AC=3FC.（1）求证：A、尸、E三点共线；（2）若点G是平行四边形8/CG的中心
8、，求证：。、F、G三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，C=2EC,4C=3FC,toJF=Z+V=Z+4C=Z+（jS+jd-Z）=AB+AD+AA,=-（AB+AD+-AA.）,333132AE=AC+CE=AB+AD+-CC.=AB+AI）+-AA.,2,21,-2故力尸=4E,由于4R/E有公共点儿故4、F、E三点共线：（2）由题意，点G是平行四边形5乃CG的中心，故而=5+而=荏T汞=荏T存+历_赢）21121一1=ABAD+-AA.=-（.ABAD+AA.）,333,322,2故。尸=3。G,因为QEoG有公共点。，故。、尸、G三点共线.【典例3
9、】（2024全国高三专题练习）在四棱柱48CQ-48GA中，屏=取,麻=攵用,Dfi=kCH=kDfi.3_.（1）当=a时，试用力8,4D,44表不力产；（2）证明：E,F,G,H四点共面；111【答案】（I）AF=-AAy+-AD+-AB-（2）证明见解析444【解析】（1）四棱柱彳次第一44CQ中，曲=祠+而，3因为=4所以=赤+市=:西+麻一屏=：函+:而3取=!函+:布=AA.H-ADHAB；444（2）AC=AB+AD（Z不为0）,=3丽-瓦!）+M丽-取K*阿+（而一印）=4存+丽，则前,南,丽共面且有公共点E，则瓦尸,G,四点共面；【典例4】（2022全国高三专题练习）如图，在
10、几何体48CQK中，AABC,BCD,E均为边长为2的等边三角形，平面4?C_L平面BCD,平面OCE_L平面88.求证：A,B,D,七四点共面；【答案】证明见解析【解析】取C。的中点H,连接EH,取BC的中点。，连接/0,00,因为平面DCE_L平面BCD,FL平面DCE平面BCD=CD,而（无为等边三角形，所以EHLCD,因此77J.平面BCD,因为平面46C4平面5CD,且平面48CC平面6CQ=BC,又因为ABS为等边三角形，所以。O_L8C,因此OOL平面/8C,又因为40u平面力BC,因此。O_L40,又因为C为等边三角形，所以8C_L40,因此。4。民。两两垂直，从而以。为坐标原点，04所在H线为X轴，所在门.线为V轴，OD所在直线为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，又因为4BCqBCDqCDE均为边长为2的等边三角形，所以。(0,0,0),C(O,TO),5(0,1,0),d(o,O,3)(3,0,0)设E(m,%f),则由=-m,-,y-r,而=(0,-1词，BC=(0-2,0),H = 3由于.丽.丽=0, EH BC = O因此七3,-,y-j,所以诟=-岑，A4=（3,-l,）,55=（,-1,3）,所以而=0+；而，由空间向量基本定理可知：丽,瓦3,而共面，所以4民。,
