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1、3全面认识实数完备性3.1 确界定义定义1设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切xS,都有xM(xL),则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界).若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集.定义2设S是R中的一个数集.若数满足：(i)对一切XeS,有x,即是S的上界；(ii)对任何存在XOGS,使得与即又是S的最小上界则称数为数集S的上确界，记作7=supS定义3设S是R中的一个数集.若数g满足：(i)对一切xS,有x4,即q是S的下界(ii)对任何分4，存在aeS,使得&V/?,即J又是S的最大下界，则称数4为数集S的下确界，
2、记作=infS上确界与下确界统称为确界.3.2 极限以及数列定义定义4若函数/的定义域为全体正整数集合N+,则称=N+A或/(n),nN+为数列定义5设%为数列，。为定数.若对任给的正数C(不论它多么小)，总存在正整数N,使得当N时有|4-400则称外,2)为闭区间套，或简称区间套3.4 聚点定义口定义8设S为数轴上的非空点集，J为直线上的一个定点(当然可以属于s,也可以不属s).若对于任意正数,在uC；)中含有S的无限个点，则称S为的S一个聚点.定义8，设S为实数集R上的非空点集，gR.若对于任意正数,Uo()(S,则称J为的S一个聚点.定义8若存在各项互异的收敛数列xJuS,则其极限Iim
3、z=J称为Sn的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义8定义8，由定义直接得到定义8,定义8对任给的e0,由(TC；)nSw,那么取e=,切u。仔;)ns；3x2to(2)5;3xneUon)S;这样就得到一列%uS.由%的取法，卜“两两互异，并且ok,T2n由此IimX“=J定义8定义8由极限的定义可知这是显然的.3.5 开覆盖定义定义9设S为数轴上的点集，”为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如（,0的开区间）.若S中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称”覆盖S.若H中开区间的个数无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.4实数完备性
4、定理的证明他4.1 确界原理及其证明确界原理设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明.为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数.由于S有上界，故可找到非负整数力，使得1）对于任何xS有x+2）存在旬Sg”.对半开区间,+1）作10等分,分点为几1,九2一,.9,则存在0,12,9中的一个数外,使得1）对于任何xS有几+；2）存在qS,使qn.n1.再对半开区间几,几+，）作10等分，则存在0,1,2,9中的一个数2使得1）对于任彳可XS有Xn,nn2+话2）存在/wS,ya2n.nn2.继续不断地10等分在前一步骤中
5、所得到的半开区间，可知对任何存在0,1,2,9中的一个数使得1)对于任彳可xS有xn.nln2.nk+r2)存在45,使akn.nin2.nk.将上述步骤无限地进行下去，得到实数=几%以下证明=SUPS.为此只需证明：(i) 对一切xS有x;(ii) 对任何av，存在kS使7,则可找到X的左位不足近似与，使1XArlk=几2-久+而7，从而得1X人+0人，但这与不等式相矛盾.于是(i)得证.现设a或，即n,nln2.%ak,根据数的构造，存在dS使外,从而有a,kaka,即得到av，.这说明(ii)成立.4. 2单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.证不妨设%为有
6、上界的递增数列.由确界原理，数列”有上确界，记为a=supaj.下面证明就是%的极限.,事实上，任给0,按上确界的定义，存在数列%中的某一项心使得-N又由%的递增性，当N时有a-aNan.另一方面，由于是数列%的一个上界，故对一切%都有a”aa+.所以当N时a-an0,存在正整数N使得当,mN时有anan0,存在正整woo数N，使得当心相N时有Ia“-A,am-因而有an-aman-+am-0,存在正整数N,当N时，z,-aN22，2a2-t并且当M时，ana2,.令=.,存在NkNNlI7,当Njt时,anaNk-*M%+*取&/=4一1,尸jnMMN*+齐.这样就得到一列闭区间4,满足4.
7、1 4,bqn%+也+1,k=1,2,；4.2 )b,ck0,k8；(iii)对VZN+,当时，an三ak,k.由区间套定理，存在惟一的三ak,k.由区间套定理的推论，对任给的0,存在N0,当N时OWL，久uUG；）,所以除一目.这就证明了Iilna=J.故数列%收敛.o4.4 区间套定理及其证明区间套定理若。“也是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点使得4W。，仇，=12.,即4g=1,2.121证由定义7的条件（i）可知，数列%为递增有界数列，依单调有界定理，%有极限久且有atl9n=l.同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有Iimb=Iimaf,bn,n=1,2,.nn
8、综上，可得an0,存在N0,使得当N时有L，uU（g；）.证由区间套定理的证明可得：Iima=Iimg1=,wn由极限的保号性，对于任意正数,存在正整数N,当N时，有-all,bn-,即-anbnk+也川，=12，bn-an=0(),即也是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点由区间套定理，存在唯一的一点n,h,n=1,2,.由区间套定理的推论，对任给的0,存在N0,当N时OWL也uUG*)从而Ue)内含有S中无穷多个点,按定义8J为S的一个聚点.推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.证设匕为有界数列.若居中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若
9、数列卜“不含有无限多个相等的项，则卜“在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集卜至少有一个聚点，记为g.于是按定义8，存在上“的一个收敛子列(以。为其极限).4.6 海涅博雷尔有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理设“为闭区间Lu的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖证(论反证)假设定理的结不成立，则不能用”中有限个开区间来覆盖ayb.现将M等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记此子区间为除也，则且向一q=gS-).再将L,仇等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用”中有限个开区间来覆盖.取出这样一个子区间，记为L也，则
10、/也uq,4,且b?-a?=?(b-a).将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列%,2,它满足也L+14,=1,2,.,bn-an=-(b-a)0(),即%也是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖由区间套定理，存在唯一的一点an1bn,n=1,2,.由于是的一个开覆盖，故存在开区间(,0H,使Jc(,/?).于是，由区间套定理的推论，当充分大时有%,au(a,0.这表明上也只须用”中的一个开区间Q0就能覆盖，与挑选明也时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖LU注定理的的结论只对闭区间4”成立，而对开区间则不一定成立.5实数完备性的应用研究5.1 实数完备性定理的循环证明5.1.1 用有限覆盖定理证明聚点定理证设S为直线上的有界无限点集.于是存在4力使Su鼠”.假定L，”在任何点都不是S的聚点，则对每一点X
