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1、第12讲极值点偏移前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法.在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解！极值点偏移的相关推导一、极值点偏移的含义极值点不偏移：函数/(幻满足定义域内任意自变量4都有)=(2而-力，则函数/(X)关于直线X
2、=Xo对称，X=/必为/(X)的极值点.若F(X)=C的两根的中点为百芳，则刚好有步芦=为，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移，否则偏移.极值点偏移：若受尹工与则为极值点偏移，单峰函数/(X)定义域内任意不同的实数苞，满足/(x1)=(x2),则f与极值点与必有确定的大小关系：若与包，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边.二、极值后偏移的判定定理求证:对于可导函数y=/(%),在(,力上只有一个极大值点/，方程/(x)=C的解分别为xi,x2,axlXQx2h.(1)若/(xjf(2xo-)，则Z；&/(2x0-x2),则百X0,即
3、函数y=f(x)在&,x2)上极小值点与左偏.证明：(1)对于可导函数y=(x),在(,6)上只有一个极大值点与，则函数/(x)的单调递增区间为(。，Xo),单调递减区间为()，b).由于百Vb，有X,且2/一电胸.又/(-vI)/(2x0-)fx2ro-x2即函数极大值点与右偏.(2)极小值可自行推导.三、对数平均不等式的介绍与证明两个正数。和力的对数平均定义：a-bz,、(ab)1.(a，b)=JIna-Inba(a=b)对数平均不等式为：而VL(,b)K.2取等条件：当且仅当=力时，等号成立.只证:当b时，L(a,/?),不失一般性，可设2证明：先证：LQ,力)式=Ina-Inz=In-
4、21nxl时，,(x)0,函数/(x)在(1，+8)上单调递减.故/(X)/=0，不等式成立.磊(其中京式 na-nba + b(2)再证：,b)1),则g,(x)r=工(x+l)X3+I)?x(x+,当xl时，gO,，函数g(x)在(1,+oo)上单调递增，故g(x)g=0,从而不等式成立.综合知，对VaR都有对数平均不等式必。，b)!2成立，2当且仅当=8时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下：题型一:若函数/(X)存在两个零点司，勺且N2,求证：%+%22%，而为函数/(X)的极值点.题型二:若函数/(x)中存在X，工2且不工“2满足/(Z)=f(%2)，求证
5、：X+工22与，%为函数/(X)的极值点.对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法：证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一：非对称构造构造函数函X)=F(X)-0(2%-X).(2)判断函数人。)的单调性.证明(x)0或(x)/(2而一x)或f(x)f(2x0-x)J.(4)结合函数的单调性，通过整体代换即可证再+为2%.构造方式二：对称构造(1)求出函数/(X)的极值点与，及单调区间.作差比较:构造一元差函数F(X)=/(x0+x)-(-x).(3)确定函数尸(X)的单调性.(4)结合7(0)=0,判断F(X)的符
6、号，从而确定/+x),/(与-x)的大小关系，结合函数f(x)的单调性，通过整体代换即可证x+V2与，或x1+x22瓦.证法二：引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一：差式引参一般步骤如下：第一步:根据M和勺的关系式，一般为/(再)=/(电)，通过变形，构造出百-12.第二步:通过整体代换，令百-为=八引入参数f,如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数，表示出变量进而构造一元函数.第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二：齐次引参消元一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量百，心满足的等式，并变形出土,然后令a=1.X2X2第二步:用参数，表示出变
7、量进而构造一元函数，将关于有，工2待求的问题转化为关于f的函数问题.第三步:构造关于，的一元函数g(t)求解.证法三:齐次分式整体代换消元法一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的条件.第二步:通过将所有涉及国，X2的式子转化为关于五的式子，将问题转化为关于自变量且(包亦可)的函数问题.再第三步:整体代换区=/,构造关于f的一元函数g(r)求解.电证法四:对数平均不等式法一般步骤如下：第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“ln-心”及“须一局”.第二步:通过等式两边同除以In-Inx,”构建对数平均数*一In再-InX2第三步:利用对数平均不等式将*一人转化为士也后再证
8、明王+2xa.【例1】已知函数/(%)=XeT(XWR),如果Xx2,且Fa)=/()，证明：X+22.【解析】证明法一：对称构造法法二:非对称构造法法三：差式引参换元法法四：齐次分式整体消元法例2已知函数/(x)=2x-el上存在两个不相等的数满足Fa)=%)，求证:xx+JC2(2-i),然后构造函数F(x)=(x)-(2-x),利用函数的单调性可得f()-/(2ax)O,从而得出结论.含参型一:函数含参极值点偏移问题例1已知函数f(x)=(x-2)ejf+(x-l)2有两个零点.求。的取值范围.设XpZ是/(X)的两个零点,证明:苔+x22.(2)证明法一:非对称构造法法二:参变分离,再
9、对称构造法三:参变分离,再非对称构造含参型二:不等式含参极值点偏移问题【例1】已知函数/(x)=-lnx(O,wR).求函数人力的单调区间.若存在两个不相等的正数斗4,满足f(xi)=/(2),求证:%+王2.【例2】已知/(%)=山11%-1蛆2-工,相/?.若/(%)有两个极值点5/2，且玉e?(e为自然对数的底数).【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法法二:含参非对称构造法三:单调性放缩转换法法四:差式引参消元法法五:分式引参消元法极值点偏移变形一般题型1 .若函数/(x)存在两个零点A，再且内x2,求证:2 .若函数f(x)中存在内,再且王x2,满足/(1)=/(占)，求证:0.3.若函数f(x)存在两个零点不占且X产X2,求证:尸(屈)0.4.若函数/(x)中存在S,且NX2,满足/(x1)=%)，求证:f(yxx2)0方法核心:要证明r2)o,即比较三产与极值点毛的大小,得出殳所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.对于质)0问题,要结合基本不等式，后0.【例2】己知函数/(x)=2x+0-3)InX+.讨论/(x)的单调性.如果方程外力=血有两个不相等的解,%,且不七,证明:笑习0.例3设函数f(x)=e*-r+(wR)淇图像与X轴交于A(K,O),B(%0)两点,且玉(I)求实数。的取值范围.证明:r(斤卜0/(力为函数人力的导函数.
