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1、轨迹问题1 .如图，圆。的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线/和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以0、A为焦点，r为长轴长的椭圆。2 .如图，圆0的半径为定长r,A是圆0外一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线/和直线OP交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以0、A为焦点，r为实轴长的双曲线。二.知识梳理：1 .定义法求轨迹方程的基本步骤：2 .代入法求轨迹方程的基本步骤：三典例分析.1 .基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1.已知B,C是两个定点，忸q=8,一且AABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.例2.已知
2、点A为圆8:3+2)2+V=32上任意一点，点C(2,0),线段AC的中垂线交AB于点M,求动点M的轨迹方程.例3.已知动圆尸与圆E:*+J3)2+y2=25内切，与圆E*-g)2+y2=外切，记圆心P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.2 .基于第二定义的椭圆轨迹问题.例4.已知曲线M上的动点Pay)到定点户(1,0)距离是它到定直线/:冗=4距离的一半.求曲线M的方程.3 .基于第三定义的椭圆轨迹问题.例5.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点A(-2,0),B(2,0)的连线的斜率之积为-求动点M的轨迹C的方程.24 .相关点法求轨迹.例6.已知A为圆C：V+y2=i上一点，过点A作轴的垂
3、线交y轴于点8,点P满足BP=2B4.求动点P的轨迹方程.四.练习题1 .化简方程2+(y+3)2+2+(y_3)2=10为不含根式的形式是()a + = 122B. JU25 916 25D,Z9 252 .设圆(x+1)2+N=25的圆心为C,4(1,0)是圆内一定点，。为圆周上任一点.线段4Q的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为()4/ 4），A.= 12125b = 1252125213 .己知定圆C(x+5)2+y2=,C(x-5)2+=225,动圆C满足与G外切且与G内切，则动圆圆心C的轨迹方程为()A/十产B2+-lC2+y2-1Df+V16439396425624
4、12412564 .已知动点Ma,y)与定点F(LO)的距离和它到直线X=3的距离的比是常数乎.求动5 .在圆C1(x+22)2=48内有一点P(22,0),。为圆Cl上一动点，线段PQ的垂直平分线与GQ的连线交于点C.求点C的轨迹方程.6 .设M为圆C:/+y2=4的动点，M在x轴的投影为N,动点P满足2俞=百加,动点P的轨迹为石.求E的方程.1.(2013年新课标全国卷120)已知圆M:(x+1)?+y2=l,圆N:(x-l+/=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。(1)求C的方程；(2)/是与圆P,圆M都相切的一条直线，/与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，
5、求IA求|。【解析】：(1)设圆P的半径为r,PM=r+,PN=3-r,PM+PN=4,动点P到两定点M、N距离之和等于定值4,所以P的轨迹是以MN为焦点的椭圆，a=2,C=I,2V2C的方程为：-=l(-2).（2）从图得半径最长时圆的方程为：（x-2）2+=4,公切线有三条：=0,y=+2,与椭圆联立，代入弦长公式得弦长分别为：2百，y.3.A3是曲线*+y2=上关于原点对称的两点，曲线上任意一点P满足：mkPA,kPB-n两类型考题：求轨迹，代入关系化简，但一定要注意挖去两定点。求定值（直接利用结论）。1.（2009年新课标全国卷20）已知椭圆C的中心为直角坐标系XOy的原点，焦点在X轴
6、上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和Io（1）求椭圆C的方程;、（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于X轴的直线上的点，回=4,求点M的OM轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。2v2【解析】：（1）a+c=7,a-c=l,得a=4,c=3,所以椭圆的方程为：+2-=K167（2）设M（X,y）,x-4,4-由已知您方二分及点P在椭圆C上得芸坐-二%，/LOM16（x2+/）整理得：（16万9）x2+16l2y2=i2,xY,4,3）当/1=5时，y=f,轨迹是两条平行于X轴的线段；3 r2v2Q（ii）当；IH时，方程变形为:C+-s-=1,x-4,4L当04三时，点M的4 IlZ112lj41622-9I63轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4x4的部分；当341时，点M4的轨迹为中心在原点、长轴在X轴上的椭圆满足-44的部分，当；ll时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在X轴上的椭圆。
