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1、2.5.2圆与圆的位置关系国课前颈习二素养启迪手知识梳理,两个圆之间的位置关系两个圆之间存在以下三种位置关系(1)两圆相交,有两个公共点;两圆相切,包括处切与内切,只有一个公共点；两圆相离,包括外离与内含,没有公共点.问题初中学习过判断圆与圆的位置关系的结论是什么？答案:设圆G的半径为r1,圆C2的半径是r2,则当连心线的长大于r1+r2,圆G和圆C2外离；当连心线的长等于n+n时，圆G和圆C2外切；当In-nI连心线的长n+时，圆G和圆C2相交；当连心线的长等于In-。时，圆G和圆C2内切；当连心线的长小于In-。!时，圆G和圆C2内含.叁预习自测,1 .圆2+y2=l与圆2+y2=2的位置
2、关系是(C)A.相切B.外离C.内含D.相交解析:圆x2+y2=l的圆心O1(0,0),半径n=l,圆x2+y2=2的圆心O2(0,0),半径r2=2,则d=10102=0,Ir2-rI=2-l,所以dr1+r2=3,所以这两圆的位置关系是外离,有4条公切线.3.(多选题)圆C1r(-a)2yM与圆C2rx2(y-2)2=1有且仅有两条公切线,实数a的值可以取(AB)A.1B.2C.3D.4解析：因为圆G：(x-a)2+y2=4与圆C22+(y-2)2=l有且仅有两条公切线,所以两圆相交,因为圆C1的圆心为(a,0),半径r1=2,圆C2的圆心为(0,2),半径r2=l,所以r-r2C1C2r
3、1r2,BP2-1HT412,解得-伤30).试求a为何值时,两圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离.解:对圆G,C2的方程,经配方后可得Cl:(-a)2(y-l)2=16,C2:(x-2a)2+(y-l)2=l,所以圆心Ci(a,1),=4,圆心C2(2a,1),r2=l,所以CQ=J(q-2q)2+(1-1)2=a.当ICIC2Un+r2=5,即a=5时,两圆外切，当ICCI*3,即a=3时，两圆内切.当3C1C215,即3a5时,两圆外离，当ICCl3,即0ar+m时,两圆外离,dr1-r2l,两圆内含，In-ndn+r2时,两圆相交.j针对训练(1)圆x2y2=2和圆x2y2-6y5
4、=0的位置关系为()A.外切B.相交C.相离D.内含(2)两个圆C1x2+y2+2x+2y-2=0,C2x2+y2-4-2yl=0的公切线有()Al条B2条C.3条D4条解析:(1)根据题意，圆x2y的圆心为根0),半径R=2,圆x2+y2-6y+5=0,即x2+(y-3)M,其圆心为(0,3),半径r=2,圆心距d=3,则有2-2d2+2,因此两个圆相交.故选B.圆G的半径r1=2,圆心C1(-1,-1),圆C2的半径r2=2,圆心C2(2,1),C1C2=13.由于IrflCGKn+n,故两圆相交,因而公切线有2条.故选B.手探究点二,两圆相交问题例2已知两圆C1x2+y2-2x+10y-
5、24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0.试判断两圆的位置关系；求公共弦所在的直线方程；求公共弦的长度.解：将两圆方程配方化为标准方程为Cu(-l)2+(y+5)2=50,C2r(x+l)2+(y+l)2=10,则圆G的圆心为半径r1=52;圆C2的圆心为半径r2-10.又IC1C21=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以rl-r2ClC20).由圆C与直线y=0相切,且半径为4,得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).已知圆(-2)2+(y-l)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.由两圆相切,得ICAl=4+3=7或ICAl=4-3=1.当圆心为C
6、1(a,4)(a-2)2(4-l)2=72或(a-2)?+(4-1)?=-(无解),得a=2210,故所求圆的方程为(-2-2IU)2+(y-4)2=16或(-2210)2+(y-4)2=16.当圆心为C?(a,-4)时，(a-2)2+(-4-l)2=72或(a-2)2(-4-l)2=l2(无解)，得a=226,故所求圆的方程为(-2-2+(y+4)2=16或(-2+26)2+(y+4)2=16.综上所述,所求圆的方程为a-2-2同)2+-4)2二16或(-2+210)2+(y-4)2=1611K(-2-26)2+(y+4)2=16或(-2+26)2+(y+4)2=16.，方法总结两圆外切时，
7、圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值.在题目没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.针对训练与圆0x2y5外切于点P(4,3),且半径为1的圆的方程是解析:设所求圆的圆心为C(m,n),则0,P,C三点共线,且IOCl=6,所以m=-X6=,X6=,5555所以圆的方程是(-)2(y-)2=1.答案：6-争2+6二1套课堂达标,1 .圆2+y2-2x=0与圆2+y2+4y=0的位置关系是(C)A.外离B.外切C.相交D.内切解析:圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,圆2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2,
8、圆心距为遥,因为2-l52l,所以两圆相交.2 .已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(D)A. (-5)2+(y+7)5B. (-5)2+(y+7)2=17c(-5)2+(y+7)2=15C. (-5)2+(y+7)2=9D. (-5)2+(y+7)2=25或(-5)2+(y+7)2=9解析：因为半径为1的动圆与圆(-5)2+(y+7)2=16相切,所以动圆圆心到(5,-7)的距离为4+1或4-1,所以动圆圆心的轨迹方程为(-5)2(y+7)2=25或(-5)2+(y+7)2=9.3.(多选题)已矢口圆Clx2+y2-4=0和C2x2+y2-4x
9、+4y-12=0交于A,B两点,下列说法正确的有(ABC)A.公共弦AB所在直线方程是-y+2=0B.公共弦AB长是22C.以AB为直径的圆方程是(x+l)2+(yT)2=2D.线段AB与线段CG互相垂直平分解析：由两圆方程相减可得-y+2=0,即为公共弦AB所在直线方程,A正确；由C1(0,0)知,G到直线x-y+2=0的距离d=-=2,而圆G的半径r=2,所以ABl=2rf2=22,B正确；由直线C1C2为y=-与-y+2=0的交点(-1,1)为以AB为直径的圆的圆心,结合B知,此圆的方程为(x+l)2+(y-l)2=2,C正确；由两圆相交弦与两圆圆心所在直线的位置关系知,线段CC垂直平分线段AB,但线段AB不垂直平分两圆圆心所成的线段，D错误.4.写出与两圆
