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1、2023-2024学年北师大版选择性必修第一册空间直角坐标系学案学习任务1 .了解空间直角坐标系.(数学抽象)2 .掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念.(直观想象)3 .能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标.(数学运算)必备知识情境导学探新知习济感奋【情境与问题:(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？(2)在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标？知识点1空间直角坐标系(1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底/kt以
2、点。为原点，分别以i,在4的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，这样就建立了空间直角坐标系.(2)有关概念坐标轴工轴、上轴、主轴原点点O坐标向量LJ，k坐标平面Oxy平面、OPZ平面和QZ平面,它们把空间分成个部分建系的常用规则画空间直角坐标系Gyz时，一般使Nx0=135(或45),NyOZ=90.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向三效的正方向，食指指向建的正方向，如果中指指向谢的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.知识点2空间中点的坐标和空间向量的坐标(1)点的坐标在空间直角坐标系OXyZ中，i,J9为坐标向量，对空间任意一点力，对应一个向量65,且点力的
3、位置由向量编唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组5,y,z),使五?=Xi+Xy+zk,则。，y,力叫做点74在空间直角坐标系中的坐标,记作4(*,y,z),其中工叫做点4的横坐标，匕叫做点力的纵坐标，互叫做点力的竖坐标.(2)给定向量盘若瓦?=&则6=N+j+zL有序实数组(笳y,Z)叫做6在空间直角坐标系OXyZ中的坐标，记作a=(x,Mz).思考空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？提示：/轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(筋0,0).y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,八0).Z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).。课前自主体验O思考辨析(正
4、确的打“J”，错误的打“X”)(1)空间直角坐标系中X轴与y轴的夹角为45.()(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分.()(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系.()(4)若向量a=xa+ya+z&,则a的坐标是(x,yz).()(5)若向量荏=(x,y,z),则点的坐标是(x,y,z).()(6)若点力的坐标为(x,y,z),则65=(必八z).()(7)若四边形力腼是平行四边形，则向量荏与虎的坐标相同.()提示：(DX空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直.(2) X空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分.(3) 原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系.
5、(4) (,比，金不一定是单位正交基底.(5) X点、A不一定和原点。重合.(6) 根据空间向量的坐标定义可知.由近=反可知而与小的坐标相同.关键能力合作探究释疑难一疑难问题解惑学科素藐D类型1求空间点的坐标【例1】长方体力8。BCD的长、宽、高分别为48=8,M=3,AA=5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点4B,C,D,A,F,C,D的坐标.解如图所示，以力为原点，分别以有向直线9AD,AA跟进训练2.点尸(一3, 2, 1)关于平面Ozx的对称点是,关于Z轴的对称点是,关 于(1, 2, 1)的对称点是.(3, 2, -1) (3, 2, 1) (5, 2, 3)点 P(3, 2, -
6、1)关于平面 Ozx 的对称 点是(一3, 2, 1),关于Z轴的对称点是(3, 2, 1).设点(一3, 2, 1)关于V(1,为X轴、y轴、Z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系止灯z,则点4,B,C,都在平面入4K内，因而其竖坐标Z都为0,因此儿B,C,的坐标分别是1(0,0,0),M8,0,0),C(8,3,0),(0,3,0).由于点，S,6v,都在一个垂直于Z轴的平面/8C内，又A4=5,所以这四点的竖坐标Z都是5.又过/,外,仁，分别作XAK平面的垂线，垂足分别为AfB,3因此H,夕，,D,的横坐标X、纵坐标y分别与4B,C,。的横坐标x、纵坐标y相同.因此H,9，C,
7、的坐标分别是4(0,0,5),Bf(8,0,5)(8,3,5),D(0,3,5).反思领悟L若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标.跟进训练1.在棱长均为2a的正四棱锥片力及力中，建立恰当的空间直角坐标系.(1)写出正四棱锥片力腼各顶点的坐标；写出棱阳的中点.的坐标.解如图，连接力G加交于点0,连接Y四棱锥R力成刀
8、为正四棱锥，且棱长均为24四边形ABCD为正方形,且POJ_平面ABCD.*OA=a.PO=PA* 1)的对称点为(筋 z).-OA2=J(2)2(2)2=2a以点。为坐标原点，0At0B,。尸所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,如图.正四棱锥Z2力四中各顶点坐标分别为N(a,0,0),8(0,2a,0),C(y2a,0,0),(0,-2a,0),P(0,0,2a).W为棱川的中点，0+02+00+20*-2,-2-,-2-A即J(O,y,当Q).Il类型2求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点尸(-2,1,4).求点尸关于X轴的对称点的坐标；求点尸关于。灯平面的对称点的坐
9、标；(3)求点尸关于点(2,-1,4)的对称点的坐标.解(1)由于点尸关于X轴对称后，它在X轴的分量不变，在y轴、Z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为4(2,1,4).(2)由于点尸关于。灯平面对称后，它在X轴、y轴的分量不变，在Z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为月(-2,1,-4).设对称点为月(y,z),则点V为线段总的中点.由中点坐标公式，可得x=2X2-(一2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以月(6,3,12).发现规律点P(x,y,Z)关于坐标轴，坐标平面对称的点的坐标与点尸的坐标有什么关系？提示：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(
10、筋八Z)关于y轴的对称点为(一筋八一z),关于OZX平面的对称点为(筋y,z).(X-31% = 5,y = 2, z = 3.=r等=2,解得.z-l1故点P(3,2,1)关于点V(1,2,1)的对称点为(5,2,3).Il类型3求空间向量的坐标【例3】在正三棱柱/1心力由G中，已知T的边长为I,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系，并写出丽隔，温的坐标.解分别取5G笈G的中点0,，所以DC,DA,微两两垂直，以。为坐标原点，分别以比，DAfE的方向为X轴，P轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.设九j,A分别是x,y,Z轴正方向上的单位向量，因为止=4，Z=,所以44；=。；=
11、2k,AB=-DC-DA+DDl=2k,AC=DC-DA+DD=-yJ+2Ar,所以AA1=(0,0,2),481=(-2),ACl=&-2).反思领悟用坐标表示空间向量的步骤3.棱长为1的正方体力的45G中，E/,6分别为棱D仄,8。的中点，以而，AD,丽为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标：Di福AF,AG；(2)EF,EG,DG.解在正交基底前，ADf初下，族忖荏+而+京，荏=前+：京，AG=ABAD,所以荏=(,1,3,存=(：，1，1)，AG=(1p0).(2)EF=AF-AE=-AB+-AAlf221所以EF=G,0q)；EG=AG-AE=AB-AD-Aa:,221所以丽=(
12、1,-,-1)：DG=AG-AD=AB-AD,所以加=(1,-,0).学习效果课堂评估夯基础课赢百浏小结问题点评1.己知今,也，8是空间直角坐标系Oxyz中与X,y,Z轴的正方向相同的单位向量，若肉=a+aa，则6点的坐标为()A.(11,1)B.(a,a,&)C.(1,1,1)D.不确定D向量荏的坐标与8点的坐标不同，由于0点的坐标未知，故无法确定A点的坐标.2.己知点4(3,2,-3),则点力关于y轴的对称点的坐标是()A.(3,2,3)B.(32,3)C. (-3,2,3)D.(3,2,3)C点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在*轴，Z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为
13、(一3,2,3).3.如图，在长方体力必。4G中，Oi=3,0C=5,00i=4t点产是劣G的中点，则点产的坐标为()A. (3, 5, 4)C. G，5, 4),C1BB.(p3,4)D. (5,2)C由题图知，点尸在X轴、y轴、Z轴上的射影分别为尸”月，月，它们在坐标轴上的坐标分别是去5,4,故点是的坐标是住,5,4).坐标为西的坐标为4.如图所示，在正方体业。4台G中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1,则近的(1,0,0)(1,0,1)由题图可知，4(0,0,0),5(1,0,0),4(0,0,1),所以同=(1,0,0),西=再+同=(0,0,1)+(1,0,0)=(1,0,1).IHEl/QD囹回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？提示：(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线.(2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内.(3)充分利用几何图形的对称性.2 .如何确定空间一点尸的坐标？提示：先将尸投射(沿与Z轴平行的方向)到。灯平面上的一点4,由尸/的长度及与Z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在0孙平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定R的横坐标X,纵坐标外最后得出点尸的坐标(x,y,z).3 .如何求空间向量的坐标？提示：在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底&J,给表示，从而求出空间向量的坐标.
