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1、函数单调性与奇偶性一、XX题(6分6)1 .已知偶函数f()在(f0上单调递减，则下列结论正确的是()A./(-1)(5)(2)B./(2)/(T)/(5)C./(-1)(2)(5)D.八5)/“(-1)2 .已知函数/(力=，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于点0,2)对称B.函数6在(1)上是增函数C.函数/(x)的图象上至少存在两点A8,使得直线A8/轴D.函数6的图象关于直线x=l对称3 .对任意两个实数a/,定义min*=1；：,若/(x)=2g(x)=x2,则下列关于函数MX)=min(x),g(x)的说法正确的是()A.函数MX)是奇函数B.函数MX)在区间(ylM
2、0,l上单调递增C.函数图像关于y轴对称D.函数(“最大值为2二、多选题(6分3,少选得3分，多选得O分)4 .下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+功上为增函数的是()A.y=2-xB.y=x2+2C.y=_D.y=H+l5.已知/(x)是定义在R上不恒为O的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为O的奇函数，则()A./(/()为奇函数B.g(g()为奇函数C.7(g(x)为偶函数D.g(x)为偶函数6 .己知定义在R上的函数/(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：VrR,/(-x)=(x);XZX,x2(O,-KX),当为工4时，,()(”)0；/(T)=O.则下列选x2-xy项成立的是(
3、)A./(3)(4)B.若f(mT)0,则xe(-l,0)5L+)D.VxR,3mR,使得/(力之X.填空题(共4小题8个空，每空6分)7 .若尸(X)=f(x)+/(一x),G(X)=/(x)-f(-x)(xR),则F(x)是函数，G(X)是函数.(填“奇”、偶D8 .(1)若/(x)=(x+)(x-4)为偶函数，则实数。=;(2)已知函数/O)=卜八为奇函数，则。+此.ax+bxtxO9 .7V)是定义在1-2,+l上单调递增的奇函数，贝Ij=若/(2x-l)+r)0,则X的取值范围为.10 .已知函数X)=G-1)一,定义域为R的函数g(x)满足g(r)+g(x)=Y,若函数y=()与y
4、=g()的图象的交点为(外,乂),(孙必),、(%，为)，则%=；yi=r=lZ=I1010Ci=,+x2+x3+10;yi=y,+y2+y3+y10)Z=Ii=l四、解答题(共1小题,16=4+6+6分)11 .已知函数/(x)=x+?-4,g(x)=x-bfA(X)=X2+2x(1)当。=2时，求函数y=()+g()的单调递增与单调递减区间(直接写出结果)；(2)当。43,4时，函数/(x)在区间1,向上的最大值为了(?)，试求实数机的取值范围(3)若不等式MXJi(X2)g(xJHg(x2)对任意为，,2(X1(5)(2)B./(2)/(T)/(5)C./(-1)(2)(5)D.八5)/
5、(-1)【答案】D【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.【详解】由于函数/(力为偶函数,故洋5)=/(-52)=-2),且了(力在(,0上单调递减，所以/(-5)/(-2)(-l),即/(5)(2)/(-1),故选:D.2.已知函数/()=Z7,则下列结论正确的是()X-IA.函数/(x)的图象关于点。,2)对称B.函数“力在(y,l)上是增函数C.函数”力的图象上至少存在两点A脱使得直线A8X轴D.函数”力的图象关于直线x=l对称【答案】A【分析】先把函数/(x)的分子化成常数，再画出函数的图象，观察图象，即可得出正确的选项.【详解】力=二+2,Jt-IX-I则函数/()的图象是由反比
6、例函数y=：的图象先向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到到，故其图象如图所示：函数”力在(Fl)上是减函数,排除B,D；显然函数/(力的图象与常数函数y=%的图象最多只有一个交点，故排除C；又(x)+(2T)=三+7=4,函数“X)的图象关于点(1,2)对称.故选：A3.对任意两个实数,定义min,6=：,若f(x)=2-x2,g(x)=f,则下列关于函数力(X)=min/(x),g(力的说法正确的是()A.函数力(x)是奇函数B.函数MX)在区间(7),Td(U上单调递增c.函数图像关于轴对称D.函数z(x)最大值为2【答案】C【分析】根据给出的定义先得出函数MX)的解析式，再作出其函数
7、图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可.【详解】由题意MX)=min(x),g(x)=，廖了兴所以碎)=忆匕4巴24)(；,一心)，x,2-x-xx(-l,l)作出函数MX)的图像如下:由图像可知M力为偶函数，故选项A错误.Mx)在区间(-,o,上单调递增，可得(力在区间(3,-1MO上不单调递增，故选项B错误.由图像可知：函数图像关于y轴对称，故选项C正确.由图像可知：当x=l时，函数MX)最大值为1,故选项D错误.故选：c4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上为增函数的是()A.y=2-xB.y=x2+2C.A，=-：D.y=x+l【答案】BD【分析】根据函数为偶函数可排除A,
8、C选项，再判断选项B,D中函数的单调性从而得出答案.【详解】函数y=2-X不是偶函数，函数y=-L是奇函数，不是偶函数，故可排除A,CX选项.函数y=/+2,y=N+l均为偶函数.又二次函数y=+2在(0,y)上为增函数.y=H,当o时,函数可化为尸1,在(o,+e)上为增函数.故选项B,D满足条件.故选：BD5.已知/(x)是定义在R上不恒为O的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为O的奇函数，则()A./(/(力)为奇函数B.g(g(x)为奇函数C.7(g()为偶函数D.g()为偶函数【答案】BCD【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断.【详解】由题意可知，T)=/(，所以“)=(
9、x),所以/(/(x)为偶函数,A项错误；由g(-x)=-g(x),得g(g()=g(-g(x)=-g(g(x),所以g(g(x)为奇函数，B项正确9因为/(g()=(-g(x)=(g(x),所以f(g(x)为偶函数，C项正确；因为g()=g(x),所以g(f(x)为偶函数，D项正确.故选：BCD.6.已知定义在R上的函数“x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：UeR,/(-x)=(x);Vx-x2(0,),当EHW时，&)0；47)=0.则下列选x21项成立的是()A./(3)(4)B.若m-l)v(2),则加e(-oo,3)C.若丝10,则xw(T,O)d(Lk)D.xR,BmeR9使得
10、f()mX【答案】CD【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案.【详解】根据题中条件知，函数/(X)为R上的偶函数；根据题中条件知，函数力在(0,转)上单调递增.根据函数的单调性得，/(3)(4),选项A错误；力是R上的偶函数，且在(0,)上单调递增.(加-I)Vf时,M-IlV2,解得TZ3,选项B错误；,空UF=/=。或烟0xl或TVXV0,即区D0时，x(-l,0)o(l,co),选项C正确；X根据偶函数的单调性可得，函数“力在(-,o)上单调递减.(x)在R上有最小值，故选项D正确.故选：CD.7. 若尸(X)=f(x)+/(-x),G(x)=/(x)-(
11、-x)(xR),则F(x)是函数，G(X)是函数.(填“奇”、“偶”)【答案】偶奇【分析】根据给定条件，利用奇偶性定义直接判断作答.【详解】依题意，Hr)=/()+/(X)=/(X),则函数x)是R上的偶函数；G(-x)=f(-x)-fW=-f(x)-f(-x)=-G(x),则函数G(X)是R上的奇函数.故答案为：偶；奇8. (1)若f(x)=O+a)(K-4)为偶函数，则实数=.ax +bx,xO(2)已知函数/八为奇函数，则+8=.【答案】4O【分析】(1)由“X)为偶函数，结合/(f)=(),列出方程，即可求解;(2)由函数f()为奇函数,得出方程组匕夕：),即可求解.(i)=一/(T)
12、【详解】(1)解：因为/(I为偶函数,可得/()=(),即(-X+a)(-x-4)=(x+a)(x-4),/(2) = -/(-2) /(9 = -(-l),三Sx2+(4-)x-4a=x2+(-4)x-4a,所以4-=a-4,解得=4.4a + 2 = -2(2)解：由函数为奇函数，可得ax+hx,xO即Ic，解得=-l,b=l,a+b=O当。=_=1时，函数/()=Fh经检验”为奇函数，所以4+8=0.9. /(x)是定义在l-24,+l上单调递增的奇函数，则a=；若/(2x-l)+f(x)0,则X的取值范围为一.【答案】22【分析】根据给定条件，利用奇函数性质求出。值；再利用奇函数定义结
13、合单调性解不等式作答.【详解】依题意，(l-20)+(+l)=0,解得。=2；因此函数/(X)是-3,3上单调递增的奇函数，由/(2x-l)+(x)0,得/(2x-l)-(x)=(-x),-f-3-x2x-l3,解得gx2,所以X的取值范围为.故答案为：2;今,210 .己知函数X)=CT)一,定义域为R的函数g(x)满足g(r)+g(x)=Y,若函数y=()与y=g()的图象的交点为(,yj,(孙泗)，(N0，%)，贝岭=_，yi=-【答案】O-20【分析】易得函数)=力与y=g()的图象都关于点(。,-2)对称，从而可得函数y=()与),=g()的图象的交点关于点(0,_2)对称，即可得解.【详解】/(x)=C01=2-2+1=x+l-2,XXX因为/()+/(X)=r_g_2+x+g_2=-4,所以函数“力的图象关于点(0，-2)对称，又因g(r)+g(x)=T,所以函数g(x)的图象关于点(0,-2)对称，所以函数y=)与y=g()的图象的交点关于点(0,-2)对称，因为交点为(X，M),(孙为)，(/，%)，所以土=0,上上*=O主也=O,=0,幺乜=0,2222210所以%=o,/=Iy+)lo=23+为=2%+%=2乂+为二2%+”=22t2,2,2,2
