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1、一 .判断题(每题2分).1 .兽+呼=),是非线性偏微分方程.()oxyox2 .绝对可积函数一定可做FoUrier积分变化.()3 .E(X)是次Lege力e正交多项式,则居=L()4 .0,y0;叱=o=y+L“IV=O=1.y+2p-3y=dy=o=&yM)=.五.某半无界弦的端点是自由的,初始位移为零,初始速度为COSX,求弦的自由振动规律。(12分)六.设有长为。,宽为b的矩形薄板,两侧面绝热,有三边的温度为零,另一边的温度分布为X,内部没有热源,求稳定状态时板内的温度分布。(12分)七.判断以下方程所属类型并求其标准形式(8分)yuxx+xuyy=OA.表达并证明LaPIaCe变
2、换的微分性质和卷积性质。(12分)数理方程试卷答案一判断题(1)XXVVV二填空题(1)抛物“xr+%=,/+y0,4=0=,Mzz=o=cosx(3 分)wx Ix=O=0由方程的边界条件,对原问题做偶延拓,得到无界弦的转动方程u ,ll = a1u 1 - x O Lo=O Mz,r=0=cosx根据达兰贝尔公式得u (x, t) = 一f cossds = sinxcos/ 2a j-a,a从而,原问题的解为1 rx+atw(x)=cos sds - - sin XCoS at2a j-a,a六.解:定解问题为(4分)(3分)(2分)urr+un,=OOx,Oy0时,方程式双曲型的。(1
3、分)xO时,特征方程是包 dx,解得(一元)2产=仇,2,(1分)令=(-x)=yK得标准型为W-U+7(-)=(1分)3当yvO,xO时,特征方程是电= dx标准型为uu+-)=0(1分)3(2) =-xy-0,抛物型。标准型为uxx=0,或uyy=0o(1分)(3) =-O,椭圆型。特征方程解为(一xN3=S2(1分)令g = 得标准型为U尉1 zwf 八 3 =Oo (1 分)A.证明:微分性质“乡f(r)(s)=式G)-(0)(2分)dtady-=esi-f(t)dtdt%dt=xe-s,df(t)=f(t)e-s,-f(t)de-s,(3分)=-/(O)+ses,f(t)dt=sLf(t)(s)-/(O)卷积性质Uftf2(r)(5)=Lfi()(5).Lf2(t)(s)(2分)1.*人i=1()f2(t-)de-x,dt二;J:/)I/(Lr)-力八(5分)=工(力5(加=L,(s)4($)