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1、7.4.1二项分布素养目标定方向学习目标1 .通过具体实例，了解伯努利试验及重伯努利试验的概念.2 .掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.核心素养1 .通过理解重伯努利试验的概念，培养数学抽象素养.2 .借助二项分布的有关计算及应用，提升数学运算和逻辑推理素养.必箭知识探新知，知识点1重伯努利试验(D伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)定义：我们将一个伯努利试验独立地重爱进行n次所组成的随机试验称为重伯努利试验.(3)特征：同一个伯努利试验重复做次；各次试验的结果相互独立.想一想：重伯努利试验必须具备哪些条件？提示：(1)每次试验是在同样条件下进行的.
2、(2)各次试验中的事件互不影响.(3)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生.练一练：下列事件：运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”：在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.是重伯努利试验的是(D)A.BfC.D.解析、符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是重伯努利试验.知识点2二项分布(D定义：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件N发生的概率为HoVV1),用X表示事件力发生的次数，则才的分布列为P(X=g=Cyi(I一
3、此,A=O,1,2,，.如果随机变量*的分布列具有上式的形式，则称随机变量才服从二项分布.(2)记法：XB5,p).(3)结论：fp(D=L.A=O想一想：二项分布与两点分布有什么关系？提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件力发生Cr=I)或不发生Cr=0)；二项分布是指在门次独立重复试验中事件/发生的次数才的分布列,试验次数为次(每次试验的结果也只有两种：事件力发生或不发生)，试验结果有+1种：事件力恰好发生。次，1次，2次，次.(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即=1的二项分布.练一练：任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(
4、B)33Aqb8C，3d,4解析抛一枚硬币，正面朝上的概率为右则抛三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为P知识点3二项分布的均值与方差如果，XB5,P)那么E(X)=叨,D(X)=即(1一0).练一练：设随机变量S服从二项分布f48,S则(f)=_1,O(C=W/八18,八1216解析E()=8-=-t(6)=8XWXW=石.关键能力攻重难题I型I探】究题型一重伯努利试验的概率93典例1甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和7,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰有2次击中目标且乙恰有1次击中
5、目标的概率；(3)求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率；(4)求两人各射击2次，甲未击中目标且乙击中目标2次的概率；(5)假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：甲恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？解析(D记”甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件几由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故尸(4)=1一尸(4】)=1电=居.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件及，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件打，则P=需I。一款=*P=*)X(Iq)=,由于甲、乙射击相互独立，故P(4A)=Jx1=:yob(3)记“甲射击2次，击中目标1次”为事件力3,“乙射击2次，击中
6、目标1次”为事件则尸(4)=啕(1W尸(氏)=弟)义(1一年)=看所以两人各射击2次，甲、乙均击中431目标1次的概率为尸(4屈)=Qz=.yob(4)记“甲射击2次，未击中目标”为事件4,“乙射击2次，击中目标2次”为事件A,则4)=cg)(l)=/尸=CG)X(IV)=*所以两人各射击2次，甲未击中目标191且乙击中目标2次的概率为P(AM=gy=y.(5)甲恰好射击5次后被终止射击，说明甲第4,5次未击中目标，第3次击中目标，第1,2两次至多一次未击中目标，故所求概率A-(l)t(8-规律方法(D重伯努利试验求概率的步骤：由诉_依据n重伯石菽瓦的44范判断所盔团j一I试是否为伯努利试脸历
7、葡一国断所求事件是否需要拆分每个事件都依据“重伯努利试脸的概I率公式求解“至多”“至少”问题往往考虑逆向思维法，利用对立事件求解.Io对点训练甲、乙两队进行排球比赛，已知一局比赛中甲队获胜的概率为看没有平局.(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解析(D甲第一、二局获胜或第二、三局获胜或第一、三局获胜，则?二修)+(X,X122033-27,(2)甲前三局获胜或甲第四局获胜，而前三局仅胜两局或甲第五局获胜，而前四局仅胜两局，则)十*X(+c()jX(；)XW=印题型二二项分布典例2一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途
8、中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是;.(D求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列.分析(1)首先判断f是否服从二项分布，再求分布列.(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确n的取值，再求n取各值的概率.解析(1)f(5,4的分布列为P(f=Q=C)修),A=OJ,2,3,4,5.故的分布列为012345P3224380243802434024310243124311的分布列为尸(=4)=0(前a个是绿灯,第+1个是红灯)=仔)g,4=0,1,2,3,4；P(=5)=2(5个均为绿灯
9、)=(I故n的分布列为n012345P13294278811624332243规律方法L本例属于二项分布，当力服从二项分布时，应弄清-65,M中的试验次数/?与成功率R2.解决二项分布问题的两个关注点(I)对于公式P(X=B=CT(Hk=O,1,2,，力必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.(2)判新一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重兔性，即试验是独立重复地进行了次.10对点训练一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分
10、，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得一200分).设每次击鼓出现音乐的概率为今且每次击鼓是否出现音乐相互独立.(D若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；(2)设每盘游戏获得的分数为其求才的分布列.解析(D若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得io。分的概率为人/(2)才可能的取值为10,20,100,-200,Pcr=Io)=C；X(OX(IA/= 20) =dp(=oo) =dPU=-200) =C? X所以1的分布列为X1020100-20033118888题型三二项分布的均值与方差典例3某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销
11、：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为若中奖，商场返还顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张.(1)设该顾客中奖的奖券张数为K求1的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为V元，用/表示匕并求Y的数学期望.分析(1)中奖的奖券张数h,9(2)利用二项分布的均值公式求期望.解析(I)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此小，|,又由题意可得r=2300-1007,：,EH)=E(2300IoOa=2300-100f(心=2300-1002=2100(元).即所求变量V的数学期望为2100元.规律方法用二项分布求解实际应用题的步骤(D判断
12、随机变量才服从二项分布，即才B5,p).(2)根据二项分布公式PCr=Q=CM*(i一4)L*=o,，)求出分布列.求二项分布XB5,夕)的均值可用公式E(X)=加求解.对点训练某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=aia12其中力的各位数中&(k=2,3,4,5)出现。的概率为0出现1的概率为(记X=或+曲+&+林,oO当程序运行一次时，求I的数学期望E(心及方差0).解析方法一(定义法)：由题意知X的可能取值分别为0,1,2,3,4,h44,IY 2 8 3J * 3=81;X=O表示这4个数字都是0,则户Cr=O)=X=I表示这4个数字中有一个为1,则P(*=l)=C.;同
13、理Pg)=Cb傲啮=|：ZV=3)=CbMo=I1；p=4)=()=所以才的分布列如下：X01234P1818812481328?168?数学期望(a=0r+1+2+37+4=.OloiOloi01J八所+(4-户正=.方法二(结论法)：随机变量才的值是出现1的个数，由题意，:4,282(2、8所以(乃=4=.I)X)=4I-7=7.JJJMJZj易I错I警1示审题不清致误典例49粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列.错解设需要补种的坑数为X则1的可能取值为0,1,2,3.由独立重复试验知Per=O)=CXe)=看PgI)=UX(号X(3VPU=2)=窃XoXg=/尸(M=3)=38则所求分布列为：X0123P838388辨析每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的1正解因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率氏率混淆致误.为(l-0.5)3=J,所以单个坑不需补种O17的概率为1-d=dOO设需要补种的坑数为X,则/的可能取值为0,1,2,3,这是三次独立重复试验,Pgo)=CHSX电=需,
