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1、章末知识梳理知识结轲理脉经要点椅理晰精华知识点1基本计数原理1 .分类加法计数原理：=zftzHF2 .分步乘法计数原理：N=11h11kmtt.知识点2排列1 .排列：一般地，从个不同元素中，任取出血忘，如V）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从个不同元素中取出/个元素的一个排列.2 .排列数：从个不同元素中取出M危，例nM）个元素的所有排列的个数，用符号A；表示.3 .排列数公式：A：=（-1）（-m+1）=（二勿）！.4 .全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，称为个不同元素的一个全排列.5 .排列数的性质：A：=/7A；=；+A：-,.识点3组合1 .组合：一般地，从个不同元
2、素中取出加（忘，/1）个元素并成一组，称为从个不同元素中取出勿个元素的一个组合.2 .组合数：从个不同元素中取出MmWm勿，M）个元素的所有组合的个数，用符号C表示.3 .组合数公式：CqjLI)(L/1)！AMmmln-n)!4 .组合数的性质：C=C厂;C,+CZ=CS!.吗!识点4二项式定理1 .二项式定理：(a+歹=c%+cM%+cM+C潜SM).2 .二项展开式的通项公式：7i+=Ci,OA7,AN,7Nx.3 .二项式系数：第什1项的二项式系数为C,07,AN,N*.4 .二项式系数的性质对称性增减性与最大值各项二项式系数和：C+C;+CL+C=2奇数项二项式系数和等于偶数项二项式
3、系数和：C+素养突破提技能、要点一两个计数原理的应用1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排列、组合等问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属中档题.2.应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分类，否则便是分步.对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏.*l典例1(1)现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有(C)A.4种B.5种C.6种D.7种(2)如图，一
4、个地区分为5个区域，现给区域着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.(以数字作答)解析(1)根据题意，分2种情况讨论:若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2X2=4(种)种法，若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2X1=2(种)选择，三号坑有1种选择，此时有2X1=2(种)种法，则有4+2=6(种)不同的种法.(2)涂有4种方法；涂有3种方法；涂有2种方法；涂时分两类：当与同色时，有1种方法，有2种方法；当与不同色时，有1种方法，有1种方法.所以共有432(1+2)=72(种)涂法.规律方法用两个计数原理解决实
5、际问题时，往往从特殊元素入手，通过对其分析，展开讨论，将狂杂问题分解为几类简单问题加以解决.要点二排列与组合的综合应用求解排列组合综合问题的常用策略：(1)特殊元素优先安排的策略.(2)合理分类和准确分步的策略.(3)排列、组合混合问题先选后排的策略.(4)正难则反、等价转化的策略.(5)相邻问题捆绑处理的策略.(6)不相邻问题插空处理的策略.(7)定序问题除法处理的策略.(8)分排问题直排处理的策略.(9) “小集团”排列问题中先整体后局部的策略.(10)构造模型的策略.典例2(1)从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是(A).店B.CsC.35D.53(2)将2封不同
6、的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为(C)A.XB.C；C.32D.23(3)用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有个(D)A. 120B. 216C. 222D.252(4)新高考改革中，考生除参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6科中任选3科参加高考，则不同的选考方法共有jQ_种；若某同学计划从思想政治、历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有工种(用数字作答).解析(1)根据题意，从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，是排列问题，有种不同方法.(2)根据分步原理的应用，第一封信的
7、投法有3种，第二封信的投法有3种，故一共有3X3=3种)投法.(3)根据题意，用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，需要在6个数字选出5个来组成五位数，分2种情况讨论：选出的5个数字中有3个奇数，2个偶数，有检比=216(个)符合题意的五位数；选出的5个数字中有2个奇数，3个偶数，有C纵混=36(个)符合题意的五位数；则有216+36=252(个)符合题意的五位数.(4)根据题意，对于第一空：该考生从6科中任选3科参加高考，有或=20(种)选法，对于第二空：若思想政治、历史都没有被选中，有渭=4(种)选法，则思想政治、历史中至少选一科的选法有20-4=16(种).要点三二项式定理的
8、应用对于二项式定理的考查常出现两类问题：一类是直接运用通项公式来求特定项；另一类需要运用转化思想化为二项式定理来处理问题.从近几年高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主，难度不大，但不排除与其他知识交汇，具体归纳如下：(D考查通项公式问题.(2)考查系数问题：涉及项的系数、二项式系数以及系数的和.一般采用通项公式或赋值法解决.可转化为二项式定理解决问题.典例3(I)(X+y)(2*05的展开式中Xy的系数为(C)A.-80B.-40C.40D.80(2)已知(x+2)(2xl)5=a0+a+a2d1-/,则a+j+a=(C)A.123B.91D. -120C.一152(
9、3)已知卜JLhg7j的展开式中倒数第三项的系数为45.求含有/的项；求系数最大的项.解析(2%一05的展开式的通项为人=C”(2*)5(-y)r=(-l)r.25-ry.其中V7的系数为(-1)322d=-40,Ay的系数为(-1)2.23-CN80.所以(x+y)(2xO的展开式中Xy的系数为40+80=40.(x+2)(2x1)5=a+&x+&六+af+a3+asd+ax5中，取x=l,得麴+&+出+8+a+&+g=3,取x=-1,得国国+包-8+&-&+a=-243,所以2(如+殳+&+笈)=-240,即a+段+a+&=-120又a=32,则为+a+国=152.(3)已知展开式中倒数第
10、三项的系数为45,则CL=45,即比=45,得=90,解得=9(不合题意，舍去)或=10._120-kj2k通项=Cfo(x4)10(J)*=cU43(oWzl0,AN),令型p+”=3,解4J得A=6.故含有V的项是第七项，T7=Cto=210x3.#+*H)的展开式中共有11项，系数最大的项是第六项，_1225Te=Cio4)5(A3)=252*12规律方法1.利用二项式系数的性质，可以把在展开式中靠后的二项式系数C附化为靠前的二项式系数CY转化后可简化解题过程本例的解决,还可以解决一些较为简单的二项展开式系数的最大(或最小)问题.但应注意区分二项式系数和展开式系数这两个不同的概念.2.解决二项式系数和问题的思维过程如下:L-解题过程一对了赋值一变形一结论求二项式系数的和
