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1、几个经典不等式的关系一儿个经典不等式（1）均值不等式设g，q0是实数nIa.+，+“1?+a+0=L2.当且仅当q=%=,时，等号喊立.（2）柯西不等式设%，瓦也，bfl是实数，则（?；+fl；+）（+）（d1+d）2当且仅当。=0G=L2,或存在实数h使得q=屹G=L2,）时，等号成;（3）指序不等式设%a2之alt,.f为两个数组，G，Cn是飞,，的任排列,则岫+碰+flN/G+a2c2+.+,A+aA-I+岫当且仅当。】=%=。或4=4=。时，等号成立.（4）切比晓夫不等式对于两个数组：axa2an,bih2有q-+也（，4+.+（=+/+仇）-+M+当且仅当4=q=q或4=b2=-=D
2、b等号成工二相关证明（1）用持序不等式证明切比晓夫不等式证明：由alh1+a2b2+ +albllIl+ q Yz,l+- + o(A+/%+,)N(q+g+q)(A+d+2)而(a1+a2+an)(hl+h2+-+hl)alhl+a2h2+anhn+c1h2+a2h3+altbi+alb3+a2b4+anb2+也+a2b5+-+al,b3+aihn,l+a2hn+anbn,2+a4tl+a2bl+-+anhn_1根据“顺序和之乱序和(在-1个部分M时使用)，可得(岫+他+。也)(%+a2+-+an)(h1+-)即得同理，根据“乱序和反序和”,可得（4+4+4）（1+,）.42+a2bi+ab
3、l综合即证（2）用排序不等式证明“儿何一算数平均不等式V,44%证明：构造两个数列：其中C=MI2q.因为两个数列中相应顼互为倒数,故无论大小如何，乘积的和:一、+苍J”总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和“，总有1yn+2yi+NXlyl+-+怎于是+1+1+1ccc即%+%+之C即证（3）用切比晓夫不等式证明“数开方平均不等式？/4”+可nVn证明：不妨设4之4之之0”，4+4+凡q,则-1,由切比晓夫不等式，上式成立.即证.（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明：不妨设qN4N之all,bh2-hn由切比晓夫不等式，有她+也+他w（q+&+q）,+由+）Ilbl+b2+1)n所以。也+生仇+4也/Vn:WJ厅+；+片0j+j+a；由均值不等式，有+%+“/；+；+4：7两边平方，即得（。也6r+）2（a；+（6）补充“调和儿何平均不等式”的证明证明：将/中，q,+%+%中的q换成.na两边取倒数，即得-JMa,a,.111*1-n+-V-1；+4：)(；+Z?2+：).即证111I-+,+-,J-L-L.Yqa2ann
