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1、数值分析复习题一、填空Chapterl绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.用IoOO.1近似真值IO(X)时，其有效数字有4位，准确值X*与其有t位有效数字的近似值=21O(1O)的绝对误差为x*-x10vz设三=2.40315是真值X=2.40194的近似值，那么(有3位有效数字。-J-104=-104设一近似数X*=25231具有5位有效数字，那么其相对误差限是2x24,其绝对误差-104限是2xl-7x=.1-=当X很大时，为防止损失有效数字，应该使x+l+VxChapter2插值方法s(x)=3x6+6-5x2+1j那么九一3,-2,-1,0,1,2,3=
2、3假设f(x)=24+-3,那么fl,2,3,4,5,6=。对f(x)=x3+3x2-x+5，差商f0,l,2,3,4二0。设F(X)=X6-3/+/-5,那么差商/04,2,3,4,5,6=1丫=3)的均差几。/，%=5,/x4,x0,x2=9fl43,x2=i4,f,x3,x2=8,.那么均差fx4,x2,x=9O(交换不变性)X112-32(x+1)(%-2)+(x+l)(x-1)设有数据那么其2次Lanmge插值多项式为23,2次拟合多项式为(最正确平方逼近可求)。？以n+1个整数点k(k=O2,n)为节点的Lagrange插值基函数为0)(k力Idk(X)=T=0,1,2,.,n),
3、那么k=oXo?(注：九一，那么有拉格朗日插值公式：y4()=EyJk(X)k=0,x = 0,1,2,，2； y=0,l,2x3-lOxlS(X)=4132-(x-l)3+a(x-l)2+b(x-l)+clx2假设2是三次样条函数，那么：a=_3_,b=_3_,c=O。三次样条函数S(X)满足：S(X)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(),k=0,l,2,n,且满足S(X)在每个子区间xk,xk+l上是不超过三次的多项式。(1.5x+lX=0,2过(0,1),(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数P(x)J-3x+lx=2,3i. Xxxlx2x3x4ii. yyyly2y3
4、y4设有函数表如：W丫m0mlrn2m3m4,那么可利用分段三次Hermite插值，其插值多项式的次方为三次.？Chapter3函数的最正确平方逼近无Chapter4数值积分与数值微分牛顿柯特斯求积公式的系数和=。积分区间的长度(b-a)o(验证梯形、辛普森、科特斯公式满足)？r311If(x)dx=-f(一)+-f(l)12数值求积公式品)434的代数精度为：2次代数精度。(依次将函数IKK-代入验证是否满足，可得代数精度)rill3的代数精度为：3次代数精度。求积公式求积分 f(x)dx的近似值，其辛卜生公式为b - ar q/、+ /0) + 4/(-)Jo2Jo/(X心-2/(一)-/
5、(一)+2/(一)求积分I的近似值,其复化梯形公式叱9+25/(/)=,l+dr+/S)=设J。，那么用梯形公式得近似值为22Chapters线性方程组的直接解法能用高斯消元法求解Ar=S的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零(P113),当满足条件7且3时(各阶顺序主子式不为零),A可作LU分解，当满足条件。3时(A为n阶对称正定矩阵)，必有分解式A=LL，其中L是对角元素为正的下三角阵。Chapter6线性方程组的迭代解法-548，那么皿=17 ,设A=112,那么阿=20。7设45 o510 JAII 产3-233-,那么:ML=-8_,|隗=_3IAe=_9IAcMLM=24。P(A)方
6、阵A的谱半径是指maxA. in I矩阵A的条件数是指。MA)=MMAll非奇异矩阵A的条件数Cond(A)=? ? , A是病态是指条件数数值很大。？ ？则条件数Cond8（八）=ChaPter8非线性方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内l(x)LVL那么在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。R=。一0U)-2利用二分法求f(X)=0在外切上根的近似值，误差限为2及设f(X)可微，那么求方程2=f(x)根的牛顿迭代格式为求后的近似值，其牛顿迭代格式为M5厂W3的近似值，其牛顿迭代格式是5%求解方程/*)二的 Newton迭代公式为f()割线公
7、式为Xr.1=xk(RJt-Xrl)k=1,2,3./UJ-Z(V1)序列KJn=O满足递推关系：丫=10丫-1，（11=1，2，一）,假设丫0有误差，这个计算过程不稳定。Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？求解常微分方程处值问题y = (x,y), axb ,y(a) = 的改良Euler （梯形法）公式为y0(a) = yj+=Yj+乳fg,%)+/(，%),它是二阶方法（二阶精度）。Euler法是一阶方法（一阶精度）。P218MM=X+妙(当，力)7=0,1,2.,-1h-解常微分方程初值问题的改良欧拉法预报一校正公式是-=力+5/(
8、巧，)+/(，九+1)Zz一_v+hf（V）匕+1=匕+彳（弓，X）+/（XjN，九+1）预报值：_%+均（4,Mj,校正值：jj2jj计算题Chapterl绪论无Chapter!插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4（x）,满足以下插值条件：解.设.R（X）=a44+a33a22+旬根据条件（五个未知数五个条件）解方程组可得：即:Pt（X）=X4+32二、设，（X）在X。，12上具有三阶连续导数，且（外上，与。2,再是区间%,的中点，鸟（幻是经过点（Xo，/（Xo），（XLf（F），02，/。2）的二次多项式。试证明对任意KK有Jaia）l瑞其中八号此题中=2,(X)I证明：由于，外（不
9、）是经过点*。，/（工。），（为，/（项），（电，/（%2）那么可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：MyXqxx2r3()=(X-X0)(X-X1)(X-X2)jX2-max6(x)=I(X-XO)(X-x0-)(x-x0-2砌，其中-广用力=T-20+(X)=00276mTTT所以：5+1)19近三、作三次多项式“使满足：H(O)=LH(I)=0,H(2)=LHXD=Io解：/(%)为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如以下图所示：可得：/(x)=l-x+x(x-l),令(x)=(x)+Ax(x-I)(X-2)那么(x)=-2+2x+A(3/-6x+2),因为“=1,解得A=T最
10、后得满足条件的三次多项式：(r=1-4x+4x2-X3of_1_1_4f(x)dxXO=，Xl=彳，工2=，四、对于积分J。，假设取节点525试推导一个插值型求积公式，并用这个exdx公式求J。的近似值。P74解：1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：2、先计算系数AM=(U2,具体过程如下：225225/()公4f(J=/()+U)+-f(2)然后构造出积分公式：。A=o3、根据构造的积分公式，计算J。,具体过程如下：五、给定数据试求八幻的3次NeWtOn插值多项式，并写出插值余项。解：求解差商，如下表所示：311N?(x)=4XHX(X-2)+_X(X2)(X3)那么：226
11、/5+I)（八）用力=fix,%xn(x-)0-X)(x-11)=-+1(X)插值余项：5+1)!Chapter3函数的最正确平方逼近夕(X)=ax+一、观测数据1,-5),(2,0),(4,5),(5,6),试用最小二乘法求形如X的经验公式。(10分)解：/(x)=LX1,3二、求X上的一次最正确平方逼近多项式及平方误差。解:取0。=；埼=，Px）=a+bx分别计算：So，f）根据一侬，02）（。2，。2）_代入求解得：=l1406b=0.2957即得：6（x）=l1406-02957x为/（）在多项式集合fpanl,x的最正确平方逼近。蹴=（/J）-（7,。）=Il戊-C”用）平方涅妾.i
12、=0g14,1试求/（X）的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上/(x) = sinx四、设2，试求了（幻的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上五、设“2=3，卬?1,一.试在加2中求/*）=|犬|在区间一1,1上的最正确平方逼近元。解：取A=1；A=/；P2（x）=a+bx2分别计算：A Y1616(44)3 15 2根据(4,A)即得：（八）-16+16A为/O）在多项式集合=SPanl,2的最正确平方逼近。六、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合以下数据X01.02.03.0y0.20.51.01.214 36解：因为过原点，所以取a=L=厂；二次
13、曲线为：Ea）=皿+*A7A =Zi=/1/1=riV390149369815.3,L-，J，Jj由AAC=Ay可得.=0.6184,Z?=0.0711即得：6(x)=6184x-0.071LY-为/()在多项式集合=SPanx,x,的最小二乘法拟合曲线。IK=-p()=1.7575平方误差：W)七、求解矛盾方程组: 解：1 1 11 3 1A =2 523-15112 3r= 1 3 5 -11-12 515AfA= 1119113631931-5由.AATC=A7y,可得.x1=-1.5917,x2=0.5899,x3=0.7572Chapter4数值积分与数值微分f2d一、把区间分成两等份，用复合辛卜生公式计算J+的近似值。保存小数点后四位，并说明误差是多少。cjh-*f(xMx=-/()+f(b)+2g)+4g/(X1)解：根据复合辛卜生公式Q6yEy误差分析：二、如果/(x),证明用梯形公式计算积分=1，/心所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：(b-a)3.Rf=-f(ab1
