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1、课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】求以下函数的单调区间.(l)y=x*-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数y,分别令y0或y0,即4x-4x0,解得Txl,所以单调增区间为(T,0)和(1,+8).令y0,解得x-l或Ox0,即4-,0,解得2x,；令y0,即4-10,解得x-,或0x0,.I单调增区间为(L,+8),单调减区间为(0,1).22温馨提示在求单调区间时,一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】假设函数f(x)=1La2+(a-l)x+l在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+8)上为增函数,试求实数a32的取值范围.解：
2、函数f(x)的导数f(x)=x2-ax+a-l.令f(x)=0,解得x=l或x=aT.当a-IWL即aW2时，函数f(x)在(1,+8)上为增函数，不合题意.当a-ll,即a2时，函数f(x)在(-8,1)上为增函数，在(1e-1)内为减函数，在(aT,+8)上为增函数.依题意应有当x(l,4)时,f(x)0.所以4a-l6,解得5a7.所以a的取值范围是5,7.温馨提示此题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的根本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式JT【例3】当X(0,)时，证明IanXx.2思略分析:首先构造函数f(x)=tanx-X,然后判断f(
3、x)在(0,上)上的单调性.2证明：设f(x)=tan-,x(0,).2c,/、/SInx、,.cosx+shxO.COSXCOSXCOS-XCOSX.f(x)在(0,工)上为增函数.2又Vf(x)=tan-在X=O处可导且f(0)=0,，当W(0,乙)时，f(x)f(0)恒成立，即tan-O.2tanxx.温馨提示对于tanx的导数，它不是初等函数的导数，可先变换成初等函数的导数，然后根据运算法那么求导.各个击破类题演练1证明函数f(x)=elc+e-x在0,+8)上是增函数.1 111(ex)2证明：f(x)=(eX)=ex+(-5-)=ex-ex=-4-.2 exeexe;当Xe0,+)
4、,exl,fz(x)20.f(x)=ex+ex0,+8)上为增函数.变式提升1R,求证:e2x+L证明:令f(x)=eLT,.f(x)=e1-l.Vx0,+),ex-12恒成立，即f(x)e.f(x)为增函数.当x(-8,o)时，伊()=ex-lf(O),即ex-l0.exx+1.类题演练2(2019河南郑州二模,8)函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f(x)的图象是右图所示的一条直线,那么y=f(x)图象的顶点在()A.第I象限B.第II象限C.第HI象限D.第IV象限解：设g=f(x)=kx+b(kO),那么y=f(x)=ax2+bx+c；那么f(x)=2ax+b,由此可知aO,
5、又因为函数y=f(x)图象过原点，所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点：h4ac-b2-b2.,4.X=0,y=0,应选A.2a4a4。答案:A变式提升2确定函数f(x)=x2-4x+3的单调区间.解:f(x)=2-4.令2-40,解得x2.因此函数f(x)的单调增区间为(2,+8).令2-40,解得x3-(xl).X证明：令f(x)=2Vx-3+,X那么f()=-j=.Vxl时,24.,/11.f(x)=-=r0.f(x)在(1,+8)上为增函数.三xl时,f(x)f(1)=2-3+1=0.，当xl时,2x3-L.X变式提升3函数f(x)与g(x)均为闭区间a,b上的可导函数，且f(x)g(x),f(a)=g(a),证明：当xa,b时,f()g()证明：设F(x)=f(x)-g(x),那么F(x)=f(x)-gz(x)0,所以F(X)=f(x)-g(x)在区间a,b上单调递增.所以对任意xa,b,f(x)-g(x)f(a)-g(a)=O,即f(x)g(x).
