椭圆难题(包括答案).docx

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1、关于焦点三角形与焦点弦(1)椭圆上一点尸与两个焦点的,K所构成的AP耳鸟称为焦点三角形。设N耳PB=凡那么有:COS=-1,当7i=4(即尸为短轴顶点)时,。最大,桃_p此时COSe=-口尸耳工的面积S=15sin8=bsine=.tan=cyI1 22,2l+cos02101当闻=。(即P为短轴顶点)时,S最大,且SmaX=Aff(3) b1-cPFcPF1b1(2)经过焦点6或尸2的椭圆的弦AB,称为焦点弦。设A(APy),B(x2,%),A8的中点为M(0,%),工那么弦长IABl=2ae(xl+x2)=2a2ex0-二(左焦点取“+”,右焦点取7A2当轴时,IABI最短,且HMgn=崇

2、关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1麟立方程法:联立直线和椭圆方程,消去y,得到关于X的一元二次方程,设交点坐标为(XI,yj),(x2,y2),那么有a0,以及x+2,XIX2,还可进一步求出y+%,y1y2o在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法2点差法:设交点坐标为,yl)9(x2,%)代入椭圆方程,并将两式相减,可得县二&=j+L在涉及斜率、中点、范围等问题时,常用此士一/a(y1+j2)典例剖析7点椭圆的春雁方程22【例2】设椭圆宏+方=1(60)的左焦点为尸,上顶点为A,过A点作Ab的垂线分别交椭圆于尸,交X轴于。,且Ap=IPQ(1)求椭圆的离心率。(2)假设过AF

3、,。三点的圆恰好与直线工+gy+3=O相切,求椭圆的方程。【解】1由可得:F(-c,0),A(0),。(一,0)cQQj2ci由A户=?尸3可得:P(,一),将P点坐标代入椭圆方程可513c13c得:b23a2-C23cCC1=o即=n2e+3e2=One=-ac2ac222由1得:Q(3c,0),圆心为(c,0),半径r=2cc+3于是有:=2C=C=I(圆心到直线距离),所以2=2,b=/3o22故椭圆方程为:+=143【例4】椭圆的中心在原点O,短轴长为20,右准线交尢轴于点A,右焦点为F,且Q曰=2|硝,过点A的直线/交椭圆于P,Q两点(1)求椭圆的方程(2)假设。POQ=0,求直线/

4、的方程(4)求AoPQ的最大面积22【解】1c=2,=2,=6,A(3,0)椭圆方程为:y+-=l2设直线/的方程为:x-3=ky9且设Pa,j1),Q(X2,%)22联立7+了=消去,得:(2+3)y2+6Ay3=0x-3=ky_6k那么y1+y2=-,2左2+3从而求得:x1 +x218-62+27A:2+3由。尸OQ=O得:xx2y1y2=0,求得k=/5所以/的方程为:x5y-3=02/当且仅当f=空即左=#时,取=2所以AOPQ的最大面积为G2椭圆的鞋质22例6椭圆9+方=1(0b0)的两个焦点分别为耳(-G0),F2(c90),在椭圆上存在一点P,使得尸耳PK=O(1)求椭圆离心率

5、e的取值范围(2)当离心率e取最小值时,AP耳鸟的面积为16,设A8是椭圆上两动点,假设线段AB的垂直平分线恒过定点Q(O,-6)。求椭圆的方程;求直线AB的斜率Z的取值范围。【解】1设椭圆短轴的端点为B,由及椭圆的性质得:ZFiBF2ZFiPF2=9所以NOB645,从而tan086l,即:1nc2b2f又h2=a2-c2f所以c26t2-c2,得:g,所以ee,152当e取得最小值J时,P在短轴顶点,2所以Sap*=OC=I6,又=乌a2=b2c2f,2a222故求得:a=42,=4,c=4o所以椭圆方程为:+=13216设4(芭,y1),(x2,必),设直线AB的方程为y=+/?,AB的

6、垂直平分线方程为:y=-x-3.ky=kx+b联立2y2消y去得:(1+22)x2+4+22-32=0.32+16刃么有=lk2h2-4(1+2k2)(2b2-32)0216(l2Jt2).-4kbnL2b又有:M+巧=从而y+必=-1 -l+222/力+2公(-2khh、所以AB的中点为M7,7O又M在AB的垂直平分U+22l+22J线上,所以=,即O=由(1+2女2)l+22kU+22J)将代人求得:一里k0;2 24椭圆内部的点(X,%)满足%+卓70),设AcXI,y),B(x2,%),ab7由:直线AB的方程为:y=x-c,代入椭圆方程,得:(片+2)-2a1cx+CTC1-a2b2

7、=0,由韦达定理得:Xi+X2=-77,易知:OA+OB=(xl+x2,y+%)因为。4+03与向量=(3,1)共线,所以3(*+%)+(%+/)=。,而Y+%=xx2一2c,所以3(XI+x2-2c)(xl+x2)=0,即会出吾,于是有:=3又b2=a2-C2,所以5二2,故有:e=-=-oci3a31.r2v22由1得:/=362,c=2,所以椭圆方程为:+=1,3/?2b2即/+3y2=3Z直线AB的方程为:y=x-y2hfx0 = x + x2%=何+于是有:E+2=3f,X2=牛,从而y+%=-2于是%2+3y%=0。设M(X0,%),由:将M的坐标代入椭圆方程得:(x1+J+3(%

8、y+y1=32,即2(Xj+3yj)+(x22+3y22)+2(尤x2+3%)=3b,于是有:23h2+32=3故万+42=为定值。22例8A为椭圆T=I(a00)上一动点,弦A民AC分别过焦点abF19F2,当ACLX轴时,恰有IAKI=3Ag.(1)椭圆的离心率(2)设AK=4耳8,AF2=A2F2C,判断4+4是否为定值?【解】1当ACJ_X轴时,W=从而MEl二号2依定义有AfJ+A周=2,所以-=2aa2=3h2而b2=a?d,所以a1=2c2=-=即e=2,2o22(2)由(1)可知椭圆方程为:-+=l,耳(-G0),F2(c90)ZC(.设A(X(P%),B(Xi,),C(X2,

9、%)假设A8,AC的斜率都存在,那么直线AB的方程为y=%(X+c)%+C代入椭圆方程,并整(2cx03c2)y2-2cy0(x0+c)y-12(2h-5)2 112(2n-5)2 -,所以点M在椭圆。上 设直线AM的方程为1-1 =6过焦点且A(%, x), (x2, %)2 O21 = 联立 43 =(324)y26Ay-9 = 0x- = ky_6k-9那么由:y.+y2=,y.y2=,-3公+4123公+4所以y_%=J(y+必4My2=jK十一183扬 + 1+ 1 r7i。11fillI18r+1所以S35网机一对=正而令人(r)=3z+;(rl),函数力递增,所以当,=1时,人取

10、得最小值4,189故当Z=O时,SAAMN取得最大值I=E【例14】椭圆。:+?=1的左,右焦点分别为耳,E1,过6的直线与椭圆交(1)求aA68的面积的最大值(2)当二A鸟8的面积最大值时,求tan/耳Ag的值【解】1由得:K(T,0),8(1,0)设直线AB的方程为x+l=妙,且设A(X,y1),B(X2,%)xjt-=ky联立V/丫2(3k1+4)y2-6ky-9=0143由,+6k-9那么有:一+%=.,-%=o厂Zl3K+43公+4由可得:54*=;忻周E-必I=M-必I=J(y+%)2-町必_r6Y36ylk32+43k2+4_12收+1_12加+112=3公+4=3俨+1)+3F

11、7T+F7令gO)=3r+;(zl)易证函数在1,+8)上递增*,所以当Z=I时,g取得最小值4,故当&=O时,3/女2+1+_取得最小值4,故SWB的最大值F+1为3。32当最大值时,2=。,从而|人制=5,而忻用=2所以tanNFM耳图一4unzwj34直依S椭圆的佐母美系【例16乙月是椭圆C:土+丁=1的左,右焦点,直线/与椭圆相切。4分别过耳,玛作切线/的垂线,垂足分别为m,n,求忻mkm的值(3)设直线/与X轴,y轴分别交于两点AB,求IABl的最小值。【解】1设直线/的方程为y=+m,由:fJ(-3,0),玛(6,0)。所以闺Ml =-yj3k + nl + 2; =而再。于是由MHKNI=匕”+:打日9H l + 2 l + 232 -w21 +公联立y = + /77X2 21+y =14,消去 y,的:(l42)x2 8Znr4n2 -4 = 0o因为直线/与椭圆相切,所以

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