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1、关于焦点三角形与焦点弦(1)椭圆上一点尸与两个焦点的，K所构成的AP耳鸟称为焦点三角形。设N耳PB=凡那么有：COS=-1,当7i=4(即尸为短轴顶点)时，。最大，桃_p此时COSe=-口尸耳工的面积S=15sin8=bsine=.tan=cyI1 22,2l+cos02101当闻=。(即P为短轴顶点)时，S最大，且SmaX=Aff(3) b1-cPFcPF1b1(2)经过焦点6或尸2的椭圆的弦AB,称为焦点弦。设A(APy),B(x2,%)，A8的中点为M(0,%),工那么弦长IABl=2ae(xl+x2)=2a2ex0-二(左焦点取“+”，右焦点取7A2当轴时，IABI最短，且HMgn=崇
2、关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1麟立方程法：联立直线和椭圆方程，消去y,得到关于X的一元二次方程,设交点坐标为(XI，yj),(x2,y2),那么有a0,以及x+2,XIX2，还可进一步求出y+%,y1y2o在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2点差法：设交点坐标为,yl)9(x2,%)代入椭圆方程，并将两式相减，可得县二&=j+L在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此士一/a(y1+j2)典例剖析7点椭圆的春雁方程22【例2】设椭圆宏+方=1(60)的左焦点为尸，上顶点为A,过A点作Ab的垂线分别交椭圆于尸，交X轴于。，且Ap=IPQ(1)求椭圆的离心率。(2)假设过AF
3、,。三点的圆恰好与直线工+gy+3=O相切，求椭圆的方程。【解】1由可得：F(-c,0),A(0),。(一，0)cQQj2ci由A户=?尸3可得：P(，一),将P点坐标代入椭圆方程可513c13c得：b23a2-C23cCC1=o即=n2e+3e2=One=-ac2ac222由1得：Q(3c,0),圆心为(c,0),半径r=2cc+3于是有：=2C=C=I(圆心到直线距离)，所以2=2,b=/3o22故椭圆方程为：+=143【例4】椭圆的中心在原点O,短轴长为20，右准线交尢轴于点A,右焦点为F,且Q曰=2|硝，过点A的直线/交椭圆于P,Q两点(1)求椭圆的方程(2)假设。POQ=0,求直线/
4、的方程(4)求AoPQ的最大面积22【解】1c=2,=2,=6,A(3,0)椭圆方程为：y+-=l2设直线/的方程为：x-3=ky9且设Pa,j1),Q(X2,%)22联立7+了=消去,得：(2+3)y2+6Ay3=0x-3=ky_6k那么y1+y2=-,2左2+3从而求得:x1 +x218-62+27A:2+3由。尸OQ=O得：xx2y1y2=0,求得k=/5所以/的方程为：x5y-3=02/当且仅当f=空即左=#时，取=2所以AOPQ的最大面积为G2椭圆的鞋质22例6椭圆9+方=1(0b0)的两个焦点分别为耳(-G0),F2(c90),在椭圆上存在一点P,使得尸耳PK=O(1)求椭圆离心率
5、e的取值范围(2)当离心率e取最小值时，AP耳鸟的面积为16,设A8是椭圆上两动点，假设线段AB的垂直平分线恒过定点Q(O,-6)。求椭圆的方程；求直线AB的斜率Z的取值范围。【解】1设椭圆短轴的端点为B,由及椭圆的性质得：ZFiBF2ZFiPF2=9所以NOB645,从而tan086l,即:1nc2b2f又h2=a2-c2f所以c26t2-c2,得：g,所以ee，152当e取得最小值J时，P在短轴顶点，2所以Sap*=OC=I6,又=乌a2=b2c2f,2a222故求得：a=42,=4,c=4o所以椭圆方程为：+=13216设4(芭，y1),(x2,必)，设直线AB的方程为y=+/?,AB的
6、垂直平分线方程为：y=-x-3.ky=kx+b联立2y2消y去得：(1+22)x2+4+22-32=0.32+16刃么有=lk2h2-4(1+2k2)(2b2-32)0216(l2Jt2).-4kbnL2b又有：M+巧=从而y+必=-1 -l+222/力+2公（-2khh、所以AB的中点为M7,7O又M在AB的垂直平分U+22l+22J线上，所以=,即O=由（1+2女2）l+22kU+22J）将代人求得：一里k0;2 24椭圆内部的点(X,%)满足%+卓70),设AcXI,y),B(x2,%)，ab7由：直线AB的方程为：y=x-c,代入椭圆方程，得：（片+2）-2a1cx+CTC1-a2b2
7、=0,由韦达定理得：Xi+X2=-77，易知：OA+OB=(xl+x2,y+%)因为。4+03与向量=(3,1)共线，所以3(*+%)+(%+/)=。，而Y+%=xx2一2c,所以3(XI+x2-2c)(xl+x2)=0,即会出吾，于是有：=3又b2=a2-C2,所以5二2,故有：e=-=-oci3a31.r2v22由1得：/=362,c=2,所以椭圆方程为：+=1,3/?2b2即/+3y2=3Z直线AB的方程为：y=x-y2hfx0 = x + x2%=何+于是有：E+2=3f,X2=牛，从而y+%=-2于是%2+3y%=0。设M(X0,%),由:将M的坐标代入椭圆方程得：(x1+J+3(%
8、y+y1=32,即2(Xj+3yj)+(x22+3y22)+2(尤x2+3%)=3b,于是有：23h2+32=3故万+42=为定值。22例8A为椭圆T=I(a00)上一动点，弦A民AC分别过焦点abF19F2,当ACLX轴时，恰有IAKI=3Ag.(1)椭圆的离心率(2)设AK=4耳8,AF2=A2F2C,判断4+4是否为定值？【解】1当ACJ_X轴时，W=从而MEl二号2依定义有AfJ+A周=2,所以-=2aa2=3h2而b2=a?d,所以a1=2c2=-=即e=2,2o22(2)由(1)可知椭圆方程为：-+=l,耳(-G0),F2(c90)ZC(.设A(X(P%),B(Xi,),C(X2,
9、%)假设A8,AC的斜率都存在，那么直线AB的方程为y=%(X+c)%+C代入椭圆方程，并整(2cx03c2)y2-2cy0(x0+c)y-12(2h-5)2 112(2n-5)2 -，所以点M在椭圆。上 设直线AM的方程为1-1 =6过焦点且A(%, x), (x2, %)2 O21 = 联立 43 =(324)y26Ay-9 = 0x- = ky_6k-9那么由：y.+y2=,y.y2=,-3公+4123公+4所以y_%=J(y+必4My2=jK十一183扬 + 1+ 1 r7i。11fillI18r+1所以S35网机一对=正而令人(r)=3z+；(rl),函数力递增，所以当，=1时，人取
10、得最小值4,189故当Z=O时，SAAMN取得最大值I=E【例14】椭圆。:+?=1的左，右焦点分别为耳，E1,过6的直线与椭圆交(1)求aA68的面积的最大值(2)当二A鸟8的面积最大值时，求tan/耳Ag的值【解】1由得：K(T,0),8(1,0)设直线AB的方程为x+l=妙,且设A(X,y1),B(X2,%)xjt-=ky联立V/丫2(3k1+4)y2-6ky-9=0143由,+6k-9那么有：一+%=.，-%=o厂Zl3K+43公+4由可得：54*=；忻周E-必I=M-必I=J(y+%)2-町必_r6Y36ylk32+43k2+4_12收+1_12加+112=3公+4=3俨+1)+3F
11、7T+F7令gO)=3r+；(zl)易证函数在1,+8)上递增*，所以当Z=I时，g取得最小值4,故当&=O时，3/女2+1+_取得最小值4,故SWB的最大值F+1为3。32当最大值时，2=。，从而|人制=5，而忻用=2所以tanNFM耳图一4unzwj34直依S椭圆的佐母美系【例16乙月是椭圆C:土+丁=1的左，右焦点，直线/与椭圆相切。4分别过耳，玛作切线/的垂线，垂足分别为m,n,求忻mkm的值(3)设直线/与X轴，y轴分别交于两点AB,求IABl的最小值。【解】1设直线/的方程为y=+m,由：fJ(-3,0),玛(6,0)。所以闺Ml =-yj3k + nl + 2； =而再。于是由MHKNI=匕”+:打日9H l + 2 l + 232 -w21 +公联立y = + /77X2 21+y =14,消去 y,的：(l42)x2 8Znr4n2 -4 = 0o因为直线/与椭圆相切，所以
