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1、分类加法计数原理和分布乘法原理中等目录考点一：基本计数原理1题型一、分布加法原理1题型二、分布乘法原理2题型三、基本计数原理的综合运用3课后综合巩固练习4考点一：基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有町种不同的方法，在第二类办法中有吗种方法，在第类办法中有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N=小+ZH2+叫种不同的方法,又称加法原理.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有网种不同的方法，做第二个步骤有叫种不同方法，做第个步骤有风,种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1gXw“种不同的方法.又称乘法原理.加法原理与乘法原理的
2、综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用.题型一、分布加法原理1 .用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有（）A.3B.5C.9D.12【分析】用列举法求解.【解答】解：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，有以下几类办法：用2张10元钱支付：用1
3、张10元钱和2张5元钱支付；用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付；用1张10元钱和10张1元钱支付；用1张5元钱和15张1元钱支付：用2张5元钱和10张1元钱支付；用3张5元钱和5张1元钱支付：用4张5元钱支付；用20张1元钱支付.故共有9种方法.故选：C【点评】本题考查不同的付款方式共有多少种的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.2 .一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有()A.3种B.1848种C.37种D.6种【分析】分情况讨论：选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有H种不同的
4、拿法，然后把这三种情况的数量加在一起即可.【解答】解：由题意可知选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，共有：12+14+11=37.故选：C.【点评】本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别.3 .已知集合M=1,-2,3,N=Y,5,6,-7),从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点()A.18个B.10个C.16个D.14个【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质，分2种情况讨论，取M中的数作横坐标，取N中的数作纵坐标坐标，取N中的数作横坐标，取M中的数作纵坐
5、标坐标，易得每种情况下的数目，进而由加法原理可得答案.【解答】解：第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制；分2种情况讨论，取M中的数作横坐标，取N中的数作纵坐标坐标，有3x2=6种情况，取N中的数作横坐标，取M中的数作纵坐标坐标，有4x1=4种情况；共有6+4=10种情况，故选：B.【点评】本题考查分类计数原理的运用，解题的切入点为四个象限的点的坐标的性质.题型二、分布乘法原理1.设函数满足：对于任意大于3的正整数，/(n)=n-3,且当旗3时，2期()3,则不同的函数F(X)的个数为().1B.3C.6D.8【分析】通过/()=-3,结合映射的定义，根据2颔()3,确定函数的个数.【解
6、答】解：43,2期()3,./(1)=2或3,且f(2)=2或3且/(3)=2或3.根据分步计数原理，可得共222=8个不同的函数.故选：D.【点评】本题主要考查映射的定义，以及分步计数原理的应用，比较基础.2 .将一枚骰子向桌面先后抛掷2次，一共有（）种不同结果.A.6B.12C.36D.216【分析】由分步计数原理知有6x6种结果，问题得以解决【解答】解：由分步计数原理知有6x6=36种结果故选：C.【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题3 .古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克
7、的两种物质不相邻，则这样的排列方法有多少种（结果用数字表示）.（）A.5B.10C.20D.120【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑的因素：相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5x2x1ll=10故选：B.【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”
8、学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势题型三、基本计数原理的综合运用1 .将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A.420B.180C.64D.25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，8有4种涂法，讨论A,O同色和异色，根据乘法原理可得结论.【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，8有4种涂法，,。不同色，。有3种
9、，C有2种涂法，有5x4x3x2=120种,A,。同色，。有4种涂法，C有3种涂法，有5x4x3=60种，.共有180种不同的涂色方案.故选：B.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况.2 .5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为（用数字作答）.【分析】先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有A：种，根据分步计数原理，求得结果.【解答】解：先排不在排头的这个学生，方法有4种，其他学生任意排，有A：种，根据分步计数原理，所有的排列方法共有4.A：=96种，故答案为:96.【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，注意特殊元素优先排
10、列，属于基础题.3.己知集合M1,-2,3,Ne-4,5,6,-7（,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，求这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数.【分析】本题首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2x2个，在第二象限的点共有1x2个.N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2x2个
11、，在第二象限的点共有2x2个.所求不同的点的个数是2x2+1x2+2x2+2x2=14（个）.【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理，是一个综合题目，首先分类，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决.课后综合巩固练习1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种.8B.15C.18D.30【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5=8种结果.【解
12、答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5=8种结果，故选：A.【点评】本题看出分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果.2.将一张面值1元的人民币全部换成面值1角，2角和5角的硬币，则换法总数为一.【分析】设1角硬币有枚，2角硬币有)，枚，5角硬币有Z枚，构造三元一次方程，然后利用列举法得到所有可能的情况，可得答案.【解答】解：设1角硬币有4枚，2角硬币有)，枚，5角硬币有Z枚贝IJX+2y+5z=10满足方
13、程的解有：x=10*y=0，z=0X=8，y=1，z=0x=6y=2fz=0x=4,y=3,z=0x=2，y=4,z=0x=0，y=5z=0x=5，y=0，z=lx=0，y=0,z=2x=3y=1,z=lX=1y=2，z=l共十种不同情况故答案为：10【点评】解决此类问题要用列举法，把所有的情况都一一排查，找出问题的答案.3 .乘积(al+a2+3)(+)(c1+c2+c3c4cs)展开后共有项.【分析】根据多项式的乘法法则，分析易得在(+%+/)中取一项有3种取法，在他+打+4+2)中取一项有4种取法，在(q+g+Q+Q+5)中取一项有5种取法，进而由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根
14、据多项式的乘法法则，(4+。2+%)他+4+/+4)(9+。2+。3+。4+%)的结果中每一项都必须是在(a1+a2+a3)(4+d+4+&)、(q+G+。3+。4+G)三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在(4+a2+ai)中有3种取法，在(4+劣+)中有4种取法，在(c+c2c3c4+c5)中有5种取法，由乘法原理，可得共有3x4x5=60种情况，则(q+a203)(+b2+)(cl+c2+c3+c4+c5)的展开式中有60项；故答案为60.【点评】本题考查分步计数原理的运用，是常见的题目；平时要多加训练.4 .在6x6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一
15、列都只有一辆车，每辆车占一格，共有一种停放方法.(用数字作答)【分析】利用分步计数原理，第一步先选车，第二种再排列，问题得以解决【解答】解：第一步先选车有C；种，第二步因为每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，从中选取一辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则有c：Cc；Cc；C=可种，根据分步计数原理得；C；耳=14400种.故答案为：14400.【点评】本题考查了分步计数原理的应用，关键是如何求出每辆车所在行列的可能性5 .对于各数互不相等的正数数组I；,，匕）5是不小于2的正整数），如果在PVg时有i.ig,则称H,与是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如，数组（2,4,3,1）中有顺序“2,4”、“2,3”，其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组（，/，4，%，火）的“顺序数”是4,则（%，
