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1、构造全等三角形的根本方法第一种:倍长中线法利用中点、中线构造例题1、如图,ZABC中,AD是中线,AB=4,AC=6,AD的范围是.例2如图,已知在ZUBC中,4。是BC边上的中线,E是.40上的一点,延长BEF9AF=EF9求证:AC=BEo【例3】如图,在A4BC中,4。交BC于点D,点E是BC中点,EFAD交CA的延长线于点尸,交.43于点G若BG=CF,求证:WD为A4BC的角平分线。第二种:利用角平分线角平分线常见的辅助线作法:I【例1】I:NI=N2,Z3=Z4,来证:.4P平分NA4C.例题2、在AABC中,ZB=2ZC,NA的平分线AD交BC边于点D.求证:AC=AB+BD.例
2、题3、BE是角平分线,AD垂直BE于D,求证:Z2=Z1+ZC第三种:截长补短法通常用来证明线段和差相等“截长法”即把结论中最大的线段根据条件分成两段,使其中一段与较短线段相等,然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法.“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段,然后证明接成的线段与较长的线段相等,或是把一条较短的线段加长,使它等于较长的一段,然后证明加长的那局部与另一较短的线段相等.例题5:如图1:正方形ABCD中,NBAC的平分线交BC于E,求证:AB+BE=AC.例题6、ABCD,BE,CE是角平分线,求证:BC=AB+CD第四种:旋转对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用
3、旋转方法构造全等三角形例3、如图,在aABC中,ZACB=90o,AC=BC,P是aABC内一点,且PA=6,PB=2,PC=4,求NBPC的度数.例4、如图,正方形ABCD中,DE=3,BF=1,ZEAF=45o,那么EF=.例5、如下图,两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR,如果0点正好是正方形ABCD的中心,而正方形OPQR可以绕。点旋转,那么它们重叠局部的面积为第五种:平行线法例7、如图,ZSABC中,AB=ACoE是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。求证:EF=FDo练习7:(1)过D、E分别作DGLBC于G,EH_LBC的延长线于H,用
4、这种辅助线的方法是否可以证明出结论?假设将条件BE=CE与结论DF与EF互换,其他条件不变,那么此题是否仍成立?作业:练习1、如图,CE、CB分别是AABC、2ADC的中线,且AB二AC.求证:CD=2CE.练习2、如图,zlBC,NWCB是直角,NB=60,AD.CE分别是NA/C、N5C4的平分线,,4。、CE相交于点产。请你判断写出M与五D之间的数量关系;练习2、如图,在八45C中,如果N/C5不是直角,而中的其他条件不变,请问,你在中所得结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由。,y如图,E、F分别是正方形/1BeT)的边“C、练习3、上的点,且NEZ=45,AHLEF9H
5、为垂足,求证:(1)RE+DF=EF(2)H=B练习4、1C7)是正方形,P为C上任意一点,ZPAD的平分线交C。于Q,求证几练习5、:如下图,ABC是正三角形,P为aABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度数.练习6、如图,梯形ABCD中,ADBC,NB=90,AD=3,BC=5,AB=I,把线段CD绕点D逆时针旋转90到DE位置,连接AE,那么aADE的面积为.练习7、,在AABC中,ZBAC=90o,NABC=45,点D为直线BC上一动点点D不与点B,C重合.以AD为边做正方形ADEF,连接CF1如图1,当点D在线段BC上时.求证:CF+CD=BC;2如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;3如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;求CF,BC,CD三条线段之间的关系.