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1、专题06三角形中的导角模型平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（M型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1:
2、猪蹄模型型）【模型解读】图1图2图3如图1,己知：AM/BN,结论：ZAPB=ZA+ZB；已知：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM/BN.如图2,已知：AM/BN,结论：ZP+ZP3=ZA+ZB+ZP2.如图3,已知：MBN,结论：ZP+ZP3+.+ZP21=ZA+ZB+ZP2+.+ZP2n.例1.（2022河南洛阳统考二模）如图，A8C。，NAB何=30。，NCDW=45。，则NBMD的度数为（）A.105oB.90oC.75oD.70【答案】C【分析】过点M作从而可得A8A/ECQ,则有NABM=N5ME，NCDM=ZDME,即可求NBMD的度数.【详解】解：过点M作如图，AB/CD,:.A
3、B/ME/CD,ZABM=NBME=30P,NCDM=QME=45,:.ZBMD=ZBME+ZDME=75o.故选：C.【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.例2.（2023春安徽蚌埠九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线OB,OC反射后沿着与Po平行的方向射出，已知图中NABO=46。，NOCo=88。，则/30C的度数为（）A.116oB.124oC.134oD.135【答案】C【分析】由平行线的性质即可得出4。尸=46。，NCoP=88。，再根据NBOC=NBC）P+NCOP即可求解.
4、【详解】由题意知B尸08回NBOP=ZAB。=46。，ZCOP=40CD=褥ZBOC=ZBOP+ZCOP=134o：C.【点睹】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键.例3.（2023春四川泸州七年级校考期末）如图所示，若ABEF,用含。、夕、/的式子表示X,应为（）A.+7+/B.+-aC.W-a-+D.180。+。+一/【答案】C【分析】过C作CD团AB,过M作MNI3EF,ffiAB0CD0MN0EF,根据平行线的性质得出。+0BCD=180,0DCM=0CMN,团NMF=/,求出13BCD=180-,0DCM=0CMN=-Z,即可得出答案.【详解】过C作
5、CD团AB,过M作MN13EF,0ABSEF,0AB(3CD2MNSEF,0+0BCD=180o,0DCM=0CMN,ElNMF=/,00BCD=18Oo-,0DCM=0CMN=/?-/,0x=0BCD+0DCM=180o-/+,故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.例4.（2023广东深圳校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿
6、平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB/CD,当人脚与地面的夹角Na）七二60。时，求出此时上身AB与水平线的夹角NBAE的度数为（）D. 55【分析】延长A4交直线。于点，利用平行线的性质得出NCOE=NoHA=60。，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果.【详解】解：延长AB交直线石。于点“，AHCD、：.乙CDE=乙DHA=软J:根据题意得A尸皿，ZMB=ZDZiA=60,故选：A.【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.例5.（2023春河南驻马店九年级专题练习）已知48CD,NEAF=；NEAB,NECF=；NECD,若NE = 66
7、。，则 N尸为（）DA. 23oB. 33C. 44oD. 46o【答案】C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EABIECDtIAEC66,同样的方法22ZF=AFAB+AFCD,再根据角的倍分可得ZEAfi=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.【详解】如图，过点E作水；AB,则EGABC）,0?AEG彳正AB,CEG=?ECD,9EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66同理可得：Z-F=NFAB+NFCD,NEAF=NEAB,ZECF=ZECD,220NFAB=-NEAB,ZFCD=-NECD,332222?F?FAB?FCD-7EA-IECD-（E
8、AB?ECD）-?6644,故选：C.【点睹】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.例6.（2022浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题（1）如图（2）所示，已知AB/CZ）,请问DB,NO,NE有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知AB/CD,请问D8,4E，No又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知AB/CD,请问NE+NG与N3+NF+N。有何关系并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1ZF=Z8
9、+ZD,理由如下：过点E作直线。48,Ma/AB/CDf则N8=N1,ZD=Z2,ZBED=Zl+Z2=ZB+ZD.(2) ZE+Z+ZD=360,理由如下:过点E作直线b48,则bA8CD.N8+N3=180,Z4+ZD=180o；ZB+Z3+Z4+ZD=360即NE+N8+ND=360.(3) Z+ZF+ZD=Zf+ZG,理由如下：过点,F,G作直线cA8,dAB,eAB,则c48deCD,则8=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,ZlO=ZDZ+ZFFG+ZD=Z5+Z7+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=ZfF+ZFGD.模型2：铅笔头模型U匚图1图2图3如图1,已知：AM/BN,结论
10、：Zl+Z2+Z3=360;己知：Zl+Z2+Z3=360o,结论：AM/BN.如图2,已知：AM/BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540o如图3,已知：AM/BN,结论：N1+N2+.+N”=(-1)180.例1.(2023广东统考二模)如图所示，已知AB七尸，那么N8AC+NACE+NC即二()A. 180B. 270C. 360D. 540【答案】C【分析】先根据平行线的性质得H；NBAC+NACD=180。，NDeE+NCM=180。，进而可得由结论.【详解】过点C作C。 EQQAB/ EF, AB/CD/ EF,BAC + ZACD = 180。,NoCE+ NCEE = 180
11、。,由 + 得，ZfiAC+ZA8+ZDCE+NCEV = 360。,即？ 4C IACE ICEF 360?.故选：C.【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.例2. (2023山西吕梁校联考模拟预测)如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若Zl=32。，Z2 = 62o,则N3的度数为()C. 150D. 162【答案】C【分析】过点3作BA工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可.【详解】解：如图，过点3作84工作篮底部，.N3+NM84=180o,.作篮底部与支撑平台平行，BA工作篮底部.B4支撑平台，.NABN=Nl=32
12、o,N2=ZABN+ZMBA,Z2=62o,:.ZMBA=30,:.Z3=150o,故选：C.【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键.例3.（2023河南三门峡校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形.已知C。垂直地面上的直线。尸于点。，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升（即44始终平行于。尸）.在该运动过程中，当图1图2A.112oB.138oC.158oD.128【答案】C【分析】如图所示，过点C作CMM，利用平行线的性质得到ZA
13、BC+ZBCM=180o,NMCD+NCDF=180,进而求出NBCW=68。，NMCD=90。,则BCD=ZBCMZMCD=158.【详解】解：如图所示，过点C作CM/Vr0DFABtISCM/AB/DF,回NABC+NBCM=180。，ZCt+ZCDF=180,BZABC=112,。_1,。产即/8尸=90。，（3ZCM=68o,ZCD=90,aABCD=ABCM+ZMCD=158,故选C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.例4.（2023春新疆七年级校考阶段练习）如图，如果A8C,那么团8+团产+团七+回。=_.【答案】540【分析】过点石作M
14、C3,过点尸作月VC。，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答.【详解】过点七作EMC3,过点尸作RVC）,如图，7ABCD,EM/CD,FNCD,AB/FN,EM/FN,00B+0BF=18Oo,国FEM啕EFN=I80,何短EM=I80,DEF=WEMFEM,WFE=WFN+EFN,BBFEDEF+D=B+WFNFEM+EFN+D+DEM=540of故答案为：540.【点睛】本题主要考查r平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补.构造辅助线上MC0,FN/CD是解答本题的关键.例5.（2022春河北保定七年级校考期中）如图，已知ABAC，则NA+N&+NA=，则ZA+N4+N4等于（用含的式子表示）.A. C【答案】3600360度（-1）180。【分析】过点4向右作人力48,过点&向右作AE”A3,得到AE4。/AyB/AnC,根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案.【详解】解：如图，过点A2向右作人。45,过点右向右作A石A6,BAiB/llCtA3E/A2D/AyB/AnC,0Z41+ZtA2D=l8Oo,ZDA,Aj+ZA,AjE=180
