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1、函数、基本初等函数复习导引(一)函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了整个高中数学，是高中数学的一条主线.历年高考中都对函数进行重点考查，在选择题、填空题和解答题三大题型中都有函数试题.高考重点考查的内容有：函数的概念、函数的解析式、函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等性质，函数的图象和图象变换及以基本初等函数为载体的综合题和应用题.所以在复习函数时应以复习基础知识、强化函数应用、培养能力为重点.1.函数及其表示(1)函数由定义域、值域、对应关系构成.其中对应关系是核心，定义域是根本.只有当两个函数的定义域和对应关系完全一致(即对于相同的自变量其所对应的函数值相等)时，这
2、两个函数才是同一函数.要特别注意：研究函数时，必须遵循“定义域优先”的原则.(2)求函数定义域时，一般应遵循以下原则：/(X)是整式时，定义域是全体实数；/(X)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；/(x)为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；对数函数的真数大于零；且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1；零指数暴的底数不能为零；若/(X)是有限个基本函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知/(X)的定义域为6,其复合函数/g(x)的定义域应由不等式/(x)W人解出；对于含字
3、母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论；由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.(3)函数的值域取决于定义域和对应法则.求函数值域常用的方法有：配方法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式法、利用函数的有界性、数形结合法等，但不论采用什么方法求值域，均应考虑其定义域.另外，还要特别注意，在利用配方法、基本不等式、判别式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时需注明等号成立的条件.(4)函数的最值与函数的值域有着密切的联系.事实上，如果在函数值域中存在一个最大(小)数，这个数就是函数的最大(小)值.函数的最大(小)值，实际上是函数图
4、象的最高(低)点的纵坐标，因而有时借助函数图象的直观性可直接得出函数的最值，另外要注意函数的单调性对函数最值的影响，尤其是对于闭区间上函数的最值.比如定义在闭区间机，上的函数/(x),若f(x)单调递增，则它的最小、最大值分别为/(加)，/5).对于单调性不确定的函数要进行分类讨论.(5)解析法、列表法和图象法是函数的三种常用表示方法.求函数的解析式一般有四种情况：根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式；根据题中给出函数特征，求函数的解析式，可用待定系数法.比如函数是二次函数，可设为/(X)=O?+法+c(0),其中,b,C是待定系数，根
5、据题设条件，列出方程组，解出小b,C即可；换元法求解析式，由/W(x)=g(x)求/(x)的问题，往往可设力(X)=1,从中解出X,代入g(x)进行换元求解；解方程组法：已知/(X)满足某个等式，这个等式除了/(X)是未知量外，还出现其他未知量，如/(-幻，/(T)等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出/(x).2.函数的基本性质(1)函数的单调性理解函数单调性定义，应注意下列几点：函数的单调性只能在其定义域内讨论；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；定义中的即W具有任意性，若要证明了(X)在区间小刈上是递增或者递减的，就必须证明
6、对区间上任意的两点“2,当a/9时都有不等式F(X)Vf(三)或F(X)/。2)若要证明F(X)在区间小h上不是单调函数，只要举出反例即可；判断函数的单调性，首先必须明确函数的定义域.在定义域上如果有多个单调区间，区间之间用“、”分开或用“和”相连，不能用“u”.判断函数单调性的常用方法：定义法；两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性.(2)函数的奇偶性奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断
7、函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=oo=i(f()=).f(x)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.若奇函数的定义域含有数0,则必有/(0)=0.若AX)是偶函数，则/()=(-)=(N)在处理有关问题时，常用到以下几个结论：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.判断函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数.在解题过程中要注意挖掘函数的奇偶性特征，为解决问题提供方便.3.函数的图象与性质(1)若函数y=(x)满足/(+x)=f(-幻，则函数图象关于直线二对称.此性质也可用F(X)=/(2-x)表示；当方。时，该函数为偶函数.(2)若函数y=f(x)满足/(67+x)=-x),则函数图象关于直线X=等对称.(3)若函数y=f(x)满足/(+x)+(-x)=26,则该函数图象关于点(小b)成中心对称；当“%=0时，说明该函数是奇函数.
