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1、单元检测(七)直线和圆的方程(总分值：150分时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.假设直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-l=0垂直,那么a的值为()A.2B.-3或1C.2或0D.1或0解析：当a=0时,显然两直线垂直;a0时,那么-,一=-1,得a=2.应选C.a2a-3答案：C2 .集合M=(x,y)y=l-x2,xyR,N=(x,y)x=l,yER,那么MN等于()A,(l,0)Ry0ylC.1,O)D.0解析：yhx?表示单位圆的上半圆,二与之有且仅有一个公共点(1。).答案：A3 .菱形ABCD的相对顶点为A(l,-2),C(-2,-
2、3),那么对角线BD所在直线的方程是.()A3x+y+4=0B.3x+y-4=0C.3x-y+l=0D.3x-y-l=0解析：由菱形的几何性质,知直线BD为线段AC的垂直平分线,AC中点0(-；,-|)在BD上MAC=g,故左皿=-3,代入点斜式即得所求.答案：A4 .假设直线2+上=1经过点M(CoSaSina),那么()abA.a2+b2lB.a2+b2lcA-71d-7ylab-a-b-解析：直线2+=1经过点M(COSaSina),我们知道点M在单位圆上,此问题可转化为直线2+=1和abab圆2+y2=l有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有7，-1n+*1.答案：D
3、5 .当圆x2y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心坐标是()A.(O,-1)B.(-I,O)C.(1,-1)D.(-1,1)解析:24+k2-4k213,2r=1K,44，当k=0时,F最大,从而圆的面积最大.此时圆心坐标为(-1,0),应选B.答案：B6 .过直线y=x上的一点作圆(x-5+(y-1)2=2的两条切线h,1.,当直线h,b关于y=x对称时,它们之间的夹角为()A.30oB.45.60D.90解析：由,得圆心为C(5,l),半径为五,设过点P作的两条切线的切点分别为MN,当CP垂直于直线y=x时,h,12关于y=x对称,ICPl为圆心到直线y=x的距离，即ICPI=与n
4、=2,CM=及，故1+1NCPM=30。,ZNPM=60o.答案：C7 .在如下图的坐标平面的可行域(阴影局部且包括边界)内,假设是目标函数z=ax+y(aO)取得最大值的最优解有无数个,那么a的值等于()A-B.lC.6D.33解析：将z=axy化为斜截式y=-ax+z(aO),那么当直线在y轴上截距最大时Z最大.最优解有无数个,，当直线与AC重合时符合题意.又kAC=-l,1,a=1答案：B8 .直线h:y=x,1.:ax-y=O,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是()A(O,1)B.C.(-,l)U(h3)D.(h3)解析：结合图象,如右图，其中01=45
5、。-150=30。0=45。+15。=60。.需a(tan30,DU(,tan600),即a(y,l)U(l,3).答案：C9 .把直线x-2y+=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,那么实数的值为()A.3或13B.-3或13C.3或-13D.-3或-13解析：直线x-2y+=0按a=(-l,-2)平移后的直线为x-2y+-3=0,与圆相切,那么圆心(-1,2)到直线的距离d=5*I=J,求得=13或3.答案：A10 .如果直线y=kx+l与圆x2+y2kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=O对称,那么不等式kx-y+
6、0,组卜x-my0,表示的平面区域的面积是()y011A.-B.-C.1D.242解析：由题中条件知k=l,m=J,易知区域面积为“答案：A皿Ex=-3+2COSp,一x=3CoSaiV八回二口I1.两圆与的位置关系是()=4+2siny=3sin6A内切B.外切C.相离D.内含解析:两圆化为标准式为(x+3)2+(y4)2=4和2+y2=9,圆心Ci(-3,4),Cz(OQ).两圆圆心距IClC2=5=2+3.两圆外切.答案：B12 .方程j9-%2=k(x-3)+4有两个不同的解时,实数k的取值范围是()771272AQ五)B.(m，+8)C.(亍)D.(n，解析：设y=j9-d,其图形为
7、半圆;直线y=k(x-3)+4过定点(3,4),由数形结合可知,当直线y=k(x-3)+4与半圆y=y9-x2有两个交点时,-k-.243，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)x+y0,13 .假设x,y满足约束条件x-y+30,那么z=2x-y的最大值为.0x3,解析：作出可行域如下图.当直线z=2x-y过顶点B时,z到达最大,代入得z=9.答案：914 .在y轴上截距为1,且与直线2x-3y-7=0的夹角为?的直线方程是.解析：由题意知斜率存在,设其为k,那么直线方程为y=kx+l.k-那么tan-=T-.解得k=5或一4ll+t15直线方程为y=5x+1或y=-
8、3X+1,即5x-y+l=0或x+5y-5=0.答案：5x-y+l=O或x+5y-5=015 .设A(0,3),B(4,5),点P在X轴上,那么PA+PB的最小值是,此时P点坐标是.解析：点A关于X轴的对称点为Ar(0,-3),那么IABI=45为所求最小值.3直线AB与X轴的交点即为P点,求得P(-,0).2答案：45(,0)16 .圆M:(x+cos0)2+(y-sin0)2=l,直线1.y=kx,下面四个命题:对任意实数k与0,直线1和圆M相切；对任意实数k与仇直线1和圆M有公共点；对任意实数,必存在实数k,使得直线1和圆M相切;对任意实数k,必存在实数0,使得直线1和圆M相切.其中真命
9、题的序号是.(写出所有真命题的序号)解析：圆心M(cosO,sinO)到直线l:kx-y=O的距离dF+TI一ZCOSeSinelIZCOSe+sin。I=ISin(+0)(其中tan=k)l=r,即d,故正确.答案：三、解答题(本大题共6小题,共70分)17 .(本小题总分值10分)ABC的三个顶点A(46),B(-4,0),C(l,4),求：(I)AC边上的高BD所在直线的方程；(2)BC的垂直平分线EF所在直线的方程；(3)AB边的中线的方程.解：易知kAC=-2直线BD的斜率kBD=1.又BD直线过点B(-4,0),代入点斜式易得直线BD的方程为2x-2y+4=0.4(2)VkBC=y
10、,.v_34又线段BC的中点为(-*,2EF所在直线的方程为夫+)整理得所求的直线方程为6x+8y-l=0.(3)AB的中点为M(0,3),直线CM的方程为整理得所求的直线方程为7x+y+3=0(-lx+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(本小题总分值12分)等边AABC的边AB所在的直线方程为6x+y=O,点C的坐标为(1,6),求边AC、BC所在的直线方程和AABC的面积.解：由题意,知直线AC、BC与直线AB均成60。角,设它们的斜率为k,那么I二A二百,解得k=0或l-3:k=g.故边AC、BC所在的直线方程为y=J5,y=ix,如下图,故边长为2,高为Ji.,S
11、ZXABC=2V3=V3.220.(本小题总分值12分)圆C经过不同的三点P(M)、Q(2,0)、R(0,l),圆C在P点的切线斜率为1,试求圆C的方程.解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O.将P、Q、R的坐标代入,得k+2=-D,2k=F,E+F+=0.k+2+1：圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+l)y+2k=0,圆心为(,-).又：kcp=-1,k=-3.；圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.21.(本小题总分值12分)过点PQ4)作两条互相垂直的直线I1,卜,假设h交X轴于A点,b交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:设点M的坐标为(x,y),Y
12、M为线段AB的中点，AA的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).且h、I2过点P(2,4),PAPB,kpAkpB=-l.4-04-2y而kpA=,kpB=(XR1),2-2x2-022-V-r2=-l(i).I-X1整理,得x+2y-5=0(xl).当X=I时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),，线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法二:设M的坐标为(x,y),那么AsB两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM,VI1112,2PM=AB.而IPMI=J(X-2：+(二-4)2,IABI=J(24
13、+(2y)2,：2(x-2)2+(y-4)2=4x2+4.化简,得x+2y5=0,即为所求的轨迹方程.解法三:设M的坐标为(x,y),由IJhBO1.O儿知0、A、P、B四点共圆,MO=IMPl,即点M是线段OP的垂直平分线上的点.Tkop=士二二2,线段OP的中点为(1,2),2-0*y-2=(x-1),2即x2y-5=0即为所求.22.(本小题总分值12分)实系数方程f(x)=2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内求(1)2二2的值域；a-(2)(a-iy+(b2)2的值域;(3)a+b-3的值域./(0)0,任0,解:由题意/(l)0,即，+2b+l0.+20.易求A(-l,0)、B(-2,0).C(-3,1).a+M+l=0,II1,j+2=0,b-2h-21(1)记P(l,2)VkPA,即(-,l).a1a-14(2)PC2=(1+3)2+(2-l)2=17,PA2=(1+l)2+(2-0)2=8,PB2=(l2)2+(2-0)2=13.(a-l)2+(b-2)2的值域为(8,17).(3)令u=a+b-3,即a+b=u+3.-2u+3-l,即-5u-4.
