知识讲解-《解三角形》全章复习与巩固-基础.docx

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1、解三角形全章知识复习与稳固编稿:李霞审稿:张林娟【学习目标】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【知识网络】【要点梳理】要点一:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即:0_=,一sinAsinBsinC要点诠释:hc(1)正弦定理适合于任何三角形,且一=二一=2R(R为A3C的外接圆半径);sinAsinBsinC(2)应用正弦定理解决的题型:两角和一边,求其它两边和一边的对角,求其它.(3)在两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两

2、解,应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二:余弦定理在aABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+h2-2abcosC变形为:.b2+c2-a2Dfl2+Cfh+ca?c+ahfa-bcfb-cb(3)边与角关系:正弦定理、余弦定理常用两种途径:(1)由正余弦定理将边转化为角;(2)由正余弦定理将角转化为边.要点诠释:化简中将三角形内角和、三角同角根本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.在4ABC中,熟记并会证明:NA,ZB,ZC成等差数列的充分必要条件是NB=60;ABC是正三角形的充分必要条件是NA,N

3、B,NC成等差数列且a,b,C成等比数列.要点五:解三角形应用的分类(1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达;(2)高度问题(最后都转化为解直角三角形);(3)角度问题;(4)面积问题.【典型例题】类型一:正、余弦定理的根本应用53例1.ZXABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,COSNAoC=一,求AD.135【思路点拨】确定在在AABD中运用正弦定理,将问题转化为求/BA。的正弦值.3Ti【解析】由COSNAoC=0知8C=2ab23【变式2】在AABC中,ZBAC=60o,NABC=45,BC=日那么AC=.,RrsinZABCSinZBAC【答案】由正弦

4、定理得二,sin45osin60得AC=sin45o类型二:正、余弦定理的综合应用例2.在AABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,COS2C=-(1)求SinC的值;(2)当a=2,2sinA=sinC时,求b及C的长.【思路点拨】(1)利用二倍角公式及三角形内角的范围,易求得SinC的值;(2)首先利用正弦定理将角化为边,易求得边c,要求边b,考虑用余弦定理,即先求出CoSC的值.【解析】(1)因为cos2C=l-ZsiYC=-1.,及OVC乃,所以SinC=4(2)当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理=,得c=4.sinAsinC由CoS2C=2cos?C-1=一4,及0

5、Cc=23Z?,b2+c2-a2=CI一6be,cosA=b2+c2-a22bcC2-y3bc_C22bc2bcy3_c22b233=222/.在AABC中A=30o【变式2】设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acosA,那么SinA:sinB:SinC为()A.4:3:2B.5:6:7C.5:4:3D.6:5:4【答案】由于a,b,c三边的长为连续的三个正整数,且ABC,可设三边长分别为a、a-1、a-2.由余弦定理可得COSA/+c-/(4-12+(-2)2一2_-52bc2(。一1)(-2)2(。-2)又3b=20ac

6、osA,可得cosA=220a3(-1)_a-520a2(a-2)解得4=6,故三边是6,5,4.由正弦定理可得SinA:sinB:sinC=6:5:4类型三:利用正、余弦定理解决实际问题例3.在2012年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势,在两个相距为叵的军事基地2C和D,测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且NADB=30,ZBDC=30o,NDCA=60,ZACB=45o,如下列图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.【思路点拨】首先根据问题的背景,把相关数据标注在图形中,转化到解三角形中求边长的问题,然后根据选用相应的定理进行求解,最后把求解的结果复原为实际问题的答案.【解法】

7、解法一:VZADC=ZADB+ZCDB=60o,ZACD=60,/.ZDAC=60o,JTAD=CD=-a2在ABCD中,ZDBC=180-30-105=45,由正弦定理得DBsinZBCDCDSinNDBCBD=CDsinZBCD3-4-3+3sin/DBC224V在AADB中,由余弦定理得,:.AB=ci或AB=,(舍去),44蓝方这两支精锐部队的距离为手/T解法二:(同解法一)AD=DC=AC=-a2在aBCD中,ZDBC=45,由正弦定理得BCsin30CD一sin450.BC=殍,在AABC中,由余弦定理得=-aJjSa282428:.AB=殍或AB=号(舍去),蓝方这两支精锐部队的

8、距离为毛4【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题,首先要明确题意,根据条件和图形特征寻找可解的三角形,然后利用正弦定理或余弦定理求解,另外基线的选取要恰当.举一反三:【变式11如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),测量者在河岸边选定两点C、D,测得C=406,并且在C、D两点分别测得NACB=60,ZAOB=60,NBCO=30,ZAQC=45,求河的对岸的两点a、B间的距离。【答窠】在AAOC中,NBCD=3d,NACB=60,ZADC=45ZACD=ZACBZBCD=600+30=90,在RrM)C中,ad=4J(m)MCcosZAD

9、Csin45在BZ)C中,ZAOB=60,NBs=30,ZAoC=45,NBDC=AADB+ZADC=60450=l05,ZDBC=45RnCDsinZBCD40sin30oGCA(、由正弦定理得:BD=-=202(w)SinZDBCsin45在A8I)中,由余弦定理得:AB=AD2+BD2-2ADxDcos600=206(m)故A、B间的距离为2Cm.【变式2】甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处,乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60。方向行驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近?【答案】设经过X小时后,甲船和乙船分别到达

10、CQ两点/.CD2=AC2+AD2-2ACADcos6O0=(8x)2+(20-1Ox)2-28x(20-10x).2rratxcC7024800=2442-560X+400=244(X)2+6161当CZ)2取得最小值时,8取得最小值.当X=*时,8取得最小值61此时,甲、乙两船相距最近类型四:解三角形与其他知识的交汇例4.设锐角三角形43C的内角AB,C的对边分别为b,c,=2Z?Sin4.(1)求3的大小;(2)求8s4+sinC的取值范围.【思路点拨】(1)利用正弦定理将边进行角的转换,求得B的正弦值,进而求B;(2)利用三角形中的内角和定理,利用三角函数的知识进行求解.【解析】(1)由=3sinA,根据正弦定理得SinA=2sinBsinA,所以sin3=,2由Zvlbc为锐角三角形得B=-.6(2)cosA+sinC=cosA+sin11-A1 6J.(11.=cosA+sin+A(6=cosA+cosA+SinA=QsinA+2213由4A5C为锐角三角形知,-A-Bt-B=-222211_1163211,兀11A-所以sin(A+工)走2I3j2所以COSA+sinC的取值范围为由此有立6sin(A+/35,2I3)2【总结升华】此题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、

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