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1、专题23解直角三角形模型之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。【知识储备】模型1、新定义模型此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式
2、）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为aABC的3个角NA、NB、NC,分别对应边、b、c：D正弦定理：如图1,9=-=2R（其中R是三角形外接圆的半径）。sinAsinBsinC2)余弦定理：如图2,a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-IaccosBc2=a2+b2-IabcosC.3)正弦面积公式：如图2,5*=absinC=/?csinA=ac,sinB.2224)同角三角函数的基本关系式：S加26+cs2e=,心夕=COSU5)和(差)、二倍角角公式：sin(a)=sinacoscosasin；sifi2cx=2sinacosa.CoS(a*B)=cosaco
3、s元sinasin;cos2a=cos2asin2a=2cos1a1=12sia.C2tanatanla=-1-tanaz1tanatantan(a)=1孑tanatan例1.（2022湖南中考真题）阅读下列材料:在ABC中，NA、DA、NC所对的边分别为。、b、c,求证：-=sinAsinB证明：如图1.过点C作Co_1.AB于点0,则：在RtBCD中，CD=asinB;在RtACD中，CD=bsinAdla.ab.snB=ZsmA-=sinAsinB根据上面的材料解决下列问题：bc（1）如图2,在ABC中，ZA.DB、NC所对的边分别为4、b、c,求证：=；（2）为了办好湖南sinBsin
4、C省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化，已知NA=67。,/8=53。，AC=80米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数据：sin53o0.8,sin67o0.9）例2.（2022湖南湘西统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在MBC中，加、团8、团。所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：a2=b2-rc2-2bc
5、cosA；b2=a2-c2-2accosB;c2=d2-b2-IabcosC现已知在0A8C中，A6=3,AC=4,IM=60。，则BC=.例3.（2022山东青岛校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.探究一：如图1,在-ABC中，NABC=90o,AC=b,BC=a,NC=Na,求JwC的面积.在RlZ4BC中，ZABC=90o,.,.sina=.AB=lsna.SxbcBCAB=absna.探究二：如图2,18C中，AB=AC=bfBC=a,AB=Aa,求i8C的面积（用含。、b、。代数式表示），写出探究过
6、程.探究三：如图3,.ABC中，AB=b,BC=a,4B=4a,求ABC的面积（用。、b、。表示）写出探究过程.问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字叙述）.问题应用：如图4,已知平行四边形ABC。中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四边形ABCD的面积（用。、b、。表示）写出解题过程.问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、b、c、d、a、夕表示），其中AB=力，BC=CfCD=dfAD=a,ZA=a,Z.C=.例4.（2023春四川泸州八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形
7、中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具体如下：设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=g（+b+c）,则有下列面积公式：S=yP(P-a)(P-b)(P-c)(海伦公式)；S=J-2-)2(秦九韶公式).V42一个三角形边长依次是5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在BC中，AB=15,BC=14,AC=I3,求ABC的面积和BC边上得高AD的长.例5.(2023北京市九年级校考期末)关于三角函数有如下公式:sin(+)=sinacos+cosasin,sin(a-)=sin
8、acos-cosasin;cos(a+)=cosacos-sinasin,cos(a-)=cosacos+sinasin;tan(a+)=tan+kin(ITanatanw),合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数1-tanatan来求值，如sin90=sin(30o+60o)=sin300cos600+cos300sin600=-+-=1,利用上述公式计算下2222列三角函数Sinlo5。=亚拽，(2)tanl050=-2-3,Sinl5。=二(4)cos900=0,其中正确的44个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个例6.(2023年四川省广元市中考真题数学试题
9、)“一缕清风银叶转，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120。，当其中一片风叶。3与塔干0。叠合时，在与塔底。水平距离为60米的七处，测得塔顶部。的仰角NoEo=45。，风叶。4的视角NoEA=30。.(1)已知,少两角和的余弦公式为：cos(+/)=CoSaCOs-sinsin,请利用公式计算cos75。；求风叶。4的长度.例7.（2023四川宜宾校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯确定，因此边长与角的大
10、小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（Sad）.如果.ABC中，AB=AC,那么顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边WS-容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯3确定的.根据上述角的正对定义，填空：如果NA的正弦函数值为那么SadA的值为例8.（2022春浙江九年级专题练习）阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1,在RlABC中，NAC5=90。,48=1.NA=,求Sin勿（用含Sina,cos的式子表示）.聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2,取48的中点。，连接OC,
11、过点C作CD1.AB于点D,则COB=2a,然后利用锐角三角函数在Rl-ABC中表示出AClC,在&A8中表示出C。，则可以求出.CCDSinaACSinacOSa、.sin2a=；=；=2SInacosaOC1122阅读以上内容，回答下列问题：在Rt.AHC中，ZC=90o,AB=l.（1）如图3,若BC=,则Sina=，sin2a=；3-（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出Ian的表达式（用含Sina,cosa的式子表示）.例9.（2022重庆校考一模）材料一：证明：sin2acos2a=1.证明：如图，作团BAC=加，在射线AC上任意取一点。（异于点A）,过点。作。瓦1AB,垂足为D
12、EAEDF2AF2同。E3A8于点E:.SinZBAC=,cosZBAC=.sin2ZBAC=7*cos2NBAC=7ADADAD2AD2团在RtADE中，DE2+AE2=AD2sin2NBAC+cos2NBAC=+=DE+？E=1AD2D2AD2AD2团团BAC=I3a0sin2a+cos2=1.材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道宜角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以
13、求出来.应用以上材料，完成下列问题：如图，在0A8C中，AC=4,BC=6,团C=60。，求AB的长.在（1）题图中，如果Aob,BC=c,C=,你能用mb和CoSa表示48的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由.例10.(2023春湖北九年级专题练习)在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC,2A是锐角，那么SinA=ZA的对边+斜边，CoSA=NA的邻边+斜边，UmA=NA的对边+NA的邻边.为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为X轴的正半轴”，建立直角
14、坐标系(图2),在角a的终边上任取一点P,它的横坐标是X,纵坐标是y,点P和原点(0,0)的距离为r二7手。总是正的)，然后把角的三角函数规定为：Sina=上，sa=-,tana=.我们知道，图1的四个比值的大小与角ArrX的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角Q的大小有关，而与点尸在角。的终边位置无关.比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：(1)若90。180,则角的三角函数值Sina、cos。、tana,其中取正值的是:若角a的终边与直线y=2x重合，则Sina+coSa的值；若角a是钝角，其终边
15、上一点P(x,2),且Ce)Sa求tana的值；若0oa90o,则sina+cosa的取值范围是.课后专项训练1.(2023秋广东东莞,九年级校考阶段练习)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在-ABC中，NA、NB、NC所对的边分别为纵力、a则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：a2=b2+c2-2/?ccosA：b1=a2+c2-2accosB;c?/而COSC;现已知在ABC中，AB=28C=4,NA=60。，则AC的长为()A.26B.而+1C.B-1D.3亚2. (2020四川广元市中考真
