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1、微专题12奇偶性问题【方法技巧与总结】方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个4,都有f(-x)=(x),那么/(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个工,都有/(-x)=-(x),那么/(另称为奇函数.诠释：(1)奇偶性是整体性质；(2)戈在定义域中，那么T在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；(3)/(x)=(x)的等价形式为：/(x)-f(-x)=0,4z=KfM0),JM/(T)=-/(M的等价形式为：/W+/(-X)=。,与W=-KU)0):fW(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，
2、则必有/(0)=0；(5)若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f()=O.2、奇偶函数的图象与性质(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于)，轴对称；反之，如果一个函数的图像关于)，轴对称，则这个函数是偶函数.3、用定义判断函数奇偶性的步骤(1)求函数f(x)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(2)结合函数Fa)的定义域，化简函数f(x
3、)的解析式；(3)求/(-幻，可根据/(-外与/0)之间的关系，判断函数/(x)的奇偶性.若/(-X)=-/(x),则/*)是奇函数；若f(-)=F(%)，则/()是偶函数；若/(力工/(幻，则/(X)既不是奇函数，也不是偶函数；若/(X)=/*)且/(X)=/(1)，则/(为既是奇函数，又是偶函数方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的，再判断/(-X)与()之一是否相等.(2)验证法：在判断/()与/(x)的关系时，只需验证/(T)(x)=0及S=1是否成立即可.f(x)(3
4、)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数：一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(5)分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断了(-幻与/*)的关系.首先要特别注意X与T的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与/(-幻对应不同的表达式，而它们的结果按奇
5、偶函数的定义进行比较.方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数/(x)是偶函数。函数/(x)的图象关于y轴对称；函数八幻是奇函数。函数/a)的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数y=(x)在X=O处有意义，则有/(0)=0;偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(x).(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数/(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记g()=g/(X)+/(-)，(x)=g
6、/(X)-f(-x)，则f(x)=g(x)+h(x).(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如/()+g(fW-g(xf(x)g(fMg(x).对于运算函数有如下结论：奇奇二奇；偶士偶=偶；奇偶二非奇非偶；奇x()奇二偶；奇x()偶=奇；偶x()偶二偶.(7)复合函数y=g(x)的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.【题型归纳目录】题型一：函数奇偶性的判断题型二：求函数值与解析式题型三：已知奇偶性求参数题型四：利用性质解决不等式问题题型五：性质的综合运用【典型例题】题型一：函数奇偶性的判断例1.下列函数是奇函数的是()A. y=xB.y=
7、2x2+3C.y=-D.y=-x2,xe(-1,1)【答案】C【解析】对于A：y=J7定义域为O,+),不关J：原点对称，所以y=JT为非奇非偶函数，故A错误：对于B：y=(x)=22+3定义域为R,则f()=2()2+3=2f+3=(x),即y=2f+3为偶函数，故B错误；对于C：y=g(%)=-:定义域为(一8,0)U(0,),则g()=-W=T=-g(),故y=-g为奇函数，故C正确；对于D：=/7(工)二一,工(一,)定义域为(-1,1),则力(一X)=-(T)2=一9=(),所以y二一12,%(一,)为偶函数，故D错误；故选：C例2.已知尸(X)=(V-2x)f(x),且力是定义在R
8、上的奇函数，/(l)0,则F(X)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【解析】由已知尸(K)的定义域为R,因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(70=-/3),所以尸(X)=(-X3+2x)/(-)=(-3-2x)(x)=F(x),所以Fa)为偶函数，又F(T)=(T+2)/(7)=/，F(l)=(l-2)(1)=-(1),又“l)0,所以尸(T)-f,所以尸(力不为奇函数，故选：B.例3.(多选题)己知函数“力，g(x)均为定义在R上的奇函数，且力工0,g(x)O,则()A./(x)+g(x)是奇函数B./(X)-g(x)是奇函数C.
9、/(x)g(x)是偶函数D./(X)Ig(X)I是偶函数【答案】ABC【解析】因为函数/(),g(x)均为定义在R上的奇函数，所以T)=-F(X),g(r)=-g(x),对于A选项，设F(X)=f(x)+g(x),则尸(T)=f(-x)+g()=-(x)-g(x)=-F(x),所以f(x)+g(x)为奇函数，故A正确：对于B选项,设尸(X)=/(%)g(x),则F(T)=/()-g(r)=-/(x)+g(x)=-尸(x)，所以f(x)-g(x)为奇函数，故B正确；对于C选项，设F(X)=/()g(),则/(一=/(一)g(-)=-()-g()=F(),所以f(x)g(x)为偶函数，故C正确；对
10、于D选项,设尸(X)=/(x)Ig(X)I,则3(T)=()g()=-(x)卜g(x)=F(X),所以/(x)Ig(X)I是奇函数，故D错误.例4.(多选题)下列判断正确的是()A.x)=(x1)是偶函数C.f(x)=3-X?+Jf-3是奇函数【答案】BC【解析】对于A,由90且l0,故选：ABC.B. /(x)=f+X0iTD./(x)=2是非奇非偶函数卜+斗-3得TVxv1.则“力的定义域不关于原点对称，所以函数/(X)为非奇非偶函数，故A错误；对于B,函数外”的定义域关于原点对称，当QO时，TV0,/(x)+f(-x)=-x2+x+(-xy-X=O当XVo时，也有f(x)+f(T)=0,
11、所以f(力为奇函数，故B正确；对于C,由3fo且f-30,得/=3,BPx=+3,力的定义域关于原点对称，此时X)=0,所以了(力既是奇函数又是偶函数，故C正确；对于D,由l-fo且+3-30,得一lxl且x0,/U)的定义域关于原点对称，因为f(x)=f与1=ME,X+3-3X/(-x)=-EZ=-(x),所以函数/()为奇函数，故D错误.故选:BC.例5.判断下列函数的奇偶性./(x)=V；X)=(XT)席；(3)(x)=3-x2+x2-3;-2x,x1【解析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.(1)/(力的定义域是(T4)U(，M),关于原点对称，又/(一=(一刈3-2=一13
12、一|=一/(刈，所以f(x)是奇函数.(2)因为/(力的定义域为卜1.l),不关于原点对称，所以/(X)既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为)的定义域为卜封，所以小)二,则/(x)既是奇函数又是偶函数.(4)方法一(定义法)因为函数/(“)的定义域为R,所以函数/(“)的定义域关于原点对称.当xl时，v-l,所以f(-x)=(-2)x(-X)=2x=f(x);当Txl时，/(x)=2;当JVT时,-xl,所以/()=2()=-2x=f(x).综上，可知函数，(力为偶函数.方法二(图象法)作出函数/(x)的图象，如图所示，易知函数/(x)为偶函数.例6.设函数f()对任意灯yR,都有+y)=)+
13、f(y),证明：f()为奇函数.【解析】证明：函数/()的定义域为R，关于原点对称，因为函数/()对任意,”R,都有f(+y)=f()+f(y),令=y=o,贝j(o)=2/(0),得0)=0,令y=r,则/(0)=(x)+(),所以“x)+f()=0,即f()=-f(),所以f(x)为奇函数.题型二：求函数值与解析式例7.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，当XO时，/(x)=-4x,则XO时，/(X)的解析式为【答案】/(x)=-x2-4x【解析】当x0,因为当x0时，/(x)=x2-4x,且y=(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=(-)2-4-x)=2+4x=-f(x),即/U
14、)=-X2-4x,故x0时,/(%)的解析式为f(%)=2-4x.故答案为：f(x)=-x2-4x.例8.已知“可是偶函数，当x0时，/(x)=.【答案】MK-I)【解析】由x0,则TV0,且函数/(力是偶函数，故当x0时，/(x)=()=()(r+l)=MxT)故答案为：MXT)例9.己知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x2+l,试求“力和g(x)的表达式.【解析】解析：以一X代替条件等式中的孙则有“)+g(-x)=3f+l,又“力，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，故-/(x)+g(x)=3x2+x+l.又f(x)+g(x)=3x2r+l,联立可得/(x)=,g(x)=3+l.例10.己知函数y=(x)的图象关于原点对称，且当x0时，/(x)=-2x试求/)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【解析】(I)/(幻的图象关于原点对称，./(X)是奇函数，J()=-x).又/(X)的定义域为R,J(O)=-A0),解得/(0)=0.设戈0,丁当X0时，/(x)x2-2x,
