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1、微专题24绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题题型二：含两个绝对值的和的问题题型三：含两个绝对值的差的问题题型四：含多个绝对值的问题【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题B.(-co,1)54，+oo)D.(-l,+oo)B.(-2,4)D.(-oo,1)54,+oo)例1,不等式2x-35的解集为(A.(-1,4)C.(o,4)【解析】解：.2x-35,一.5V2x3V5,解得：-IVXV4，故选：A.例2.不等式|x-1|3的解集是(A.(-co,-2)54,+oo)C.(1,4)【解析】解：IJt-I3.,.-3x-l3/.-2xv4,故不等式
2、的解集是(-2,4),故选：B.例3.若不等式-2x,x+3对任意x0,2恒成立，则实数的取值范围是()A.(-1,3)B.-1,3C.(1,3)D.1,3【解析】解：由不等式-2x,x+3时任意x0,2上恒成.，可得了(制=|。一2四的图象在10,2上恒位于直线y=x+3的下方或在直线y=x+3上,如图所示：02.2，或J(2)=-4,5.2)=14-,5/(0)=|3由可得-1.,O,由可得鼠就3,故实数4的取值范围是T,-，-4=10,或z+4=10,求得，=2,或r=6,故答案为：2或6.变式2.己知不等式3x-ox-l对任意x(0,2)恒成立，则实数”的取值范围是_(-,3)J72-
3、+)【解析】解：1等价于3i1或3勺或x等，当伫1丝1,即。3时，不等式解集为K,显然符合题意.24当a.3时，(0,2)u(-,U(-+),42所以限2或三。，解得“或“.综上，实数。的取值范围是.7或.2变式4.若函数y=f+3-在区间1,4上的最小值是4,实数的取值范围是_4.5+00)X【解析】解：由y=x+2在1,2)递减，2,4递增，X4可得y=x+?的最小值为4,最大值为5,X函数y=a-|x+3-a的最值在顶点或区间的端点处取得，X若/(1)取得最小值4,即a15=4,可得=4.5,4即有/(x)=4.5-x+-4.51.且此时/(1)=f(2)=f(4)取得最小值，成立；X若
4、f(2)取得最小值4,即-4-=4,即有a.4;此时/(1)=a-a-5,f(4)=-5,f(2)=4,由/(2)/(1),解得a.4.5；当/(4)取得最小值4,即-5-=4,解得=4.5,成立.综上可得。的范围是4.5,+oo).故答案为：4.5,+oo)题型二：含两个绝对值的和的问题例4.不等式IX-Il+x+2,4的解集是()535335A.B.C.-2,-D.-,1)222222【解析】解：令/(x)=x-l+x+2,2xl,x,2则/(幻二、3,-2xl,2x+l,x.l.当工,2时，x+2+x-lM-2x-l4,-2：2当-2vxvl时，有3,4恒成立，当X/时，x+2+x-l三
5、6的解集为_(oo-I)U(3-+oc)_.3-3x,x6,解得XVT.当-1.,x6,解得%无解.当x.2时，不等式即3x-36,解得x3练上可得，不等式的解集为(-8,T)D(3,+oo),故答案为(一8,T)U(3,+00).变式7.关于X的不等式x-2+x-8.在R上恒成立，则。的最大值为6.【解析】解：由绝对值的性质得f()=U-2+x-8.JCv-2)-(x-8)=6,所以/(x)最小值为6,从而6.，解得q,6,因此。的最大值为6.故答案为：6.变式8已知函数/(幻是定义在R上的奇函数，当x.0时，f(x)=(x-a+x-2a-3a).若集合x/(x-l)-(x)0,xR=0,则
6、实数的取值范围为_(f_.6【解析】解：xIf(x-1)-f(x)0xgR=0,则等价为F(X-I)-/(戏,0恒成立，即f(x-lJ(x)恒成立，当x.0时，f(x)=(x-a+x-2a-3a).若4,0,则当X.0时，f(x)=(x-a+x-2a+3a)=x.-/(x)是奇函数，若XV0,则一X0,则f(-x)=-x=-f(x),则/CO=%，x0,若噫.时，/(x)=lx+c-x-2a)-3d=-x：当,2时，f(x)=x-a-(x-2a)-3-a；当2时，f(x)=-a+X-2a-3a)=X-3.即当x.0时，函数的最小值为-。，由于函数/Cr)是定义在R上的奇函数，当XVo时，/(幻
7、的最大值为。，作出函数的图象如图：由于VXR,f(x-l),(x),故函数/(x-l)的图象不能在函数/(x)的图象的上方，结合图可得l-3.3,即&z,1,求得0%,，6综上4,一,例7.若存在实数X使得不等式|x+l|-|x-1|,/一3成立，则实数的取值范围为()A.(-00,+00)B.(-00,-21(J1,+00)C.1,2D.(-00,HJ2,+00)-2,x,1【解析】解：令f(x)=+l-x-l=2x,Tx2+2有实数解，则实数4的取值范围为()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-oo,-3)51，+)D.(-00,-1)53，+00)【解析】解：x+l-x-2,(x+l
8、)-(x-2)=3,.-3U+l-r-23,由不等式x+l-x-2+2有实数解,知3+2o,解得-3vvl故选：A.例9.若关于X的不等式|x+l|-|x-2|-3,a2-4+30.3,或vl,故实数的取值范围为(Yo,1)./或4,1,的取值范围为(-co，1J4,+oo).故答案为：(-00,1J4,+oo).题型四：含多个绝对值的问题例10.设函数/(x)=x+l+x+2+x+2018+%-l+x-2+x-2018(XWR),下列四个命题中真命题的序号是()(1)/(力是偶函数：(2)当且仅当X=O时，/(x)有最小值；(3) f在(0,3)上是增函数;(4)方程/(/-5+5)=/32)有无数个实根A.(1)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)(4)【解析】解：/(x)=x+l+x+2+.+x+2018+x-l+x-2+.+x-2018,.*.f(-x)Wx11+1x21+1X+20181+1-x11+1-x21+1x20181=I1X
