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1、SARS传播模型建立与仿真SARS传染病模型建立与预料张亚新刘洪光IH香玉摘要通过对问题的分析，本文建立了SARS传播的微分方程模型，即：)t(N)t(d)t(N)t(r)t(N)t(sdt)t(dN=,其中N(t)表示t时刻的SARS病人数,s(t)表示t时刻的传播率,r(t)表示衣示t时刻的治愈率，d(t)表示表示t时刻的死亡率。本文用s(t)、r(t)、d(t)三个参数较好地描述了SARS的传播过程。通过采集6月20号以前的数据，结合各个参数代表的实际意义，对他们分别进行指数回来分析,得到了s(t)、r(t)、d(t)的表达式，较好地刻划了SARS的传播规律，并对疫情作出了预料。本模型的
2、优点表现在：1、通过回来分析的方法使离散的点连续化；2、用微分方程描述SARS的传播问题更加精确。本文利用Matlab软件，对困难的微分方程进行了求解。利用附件1供应的散点数据，得到JzSARS病人数目随时间改变的曲线预料图。预料了在6月12日左右疫情将得到缓解，在7月中旬将基本消退。经检验，我们的侦料与实际状况是相吻合的。文中调整s(t)、r(t)、d(t)来对模型的结果进行限制，画出提前5天和推后5天进行隔离时病人数和时间的曲线，其结果与实际状况是相符的。本文建立的微分方程模型能够较好地对SARS的传播过程进行预料，并为政府部门供应决策依据，具有肯定的普遍适用性。关键词：SARS微分方程模
3、型限制参数检验预料SARS（SevereAcuteRespiratorySyndromct严峻急性呼吸道综合症,俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了很多重要的阅历和教训，相识到定量地探讨传染病的传播规律、为预料和限制传染病扩散创建条件的重要性。因此建立一个适合牢靠的传染病模型为SARS病毒的预防和限制供应牢靠、足够的信息源意义重大。一、模型的假设1.1模型假设：1.将SARS全部可能的传播途径都视为与病源的干脆接触。2 .在模型的建立中所采纳的数据都是依据卫生部所公布的数据，假设这些数据真实
4、牢竟。3 .我们把整个人群看作由两个系统组成，传染系统和非传染系统。传染系统完全由活着的SARS病人组成，且只有活着的SARS病人才具有传染实力，该病人一旦治愈或一旦死亡我们就看作其退出传染系统。全部的非SARS病人组成非传染系统，其中每个成员都有可能被传染成为SARS患者。4 .非传染系统的成员一旦受传染就马上进入传染系统(不考虑潜藏期)，并被确诊通报。5 .在相当一段时间内不会出现治疗SARS的特效药。1.2符号规定1、N(t)：在t时刻，具有传染实力的SARS病人：2、Nn：第n天，具有传染实力的SARS病人；3、s(t)：在t时刻的传染率，即在单位时间内平均每个病人传染的人数；4、sn
5、：第n天的传染率，即在这一天平均每个病人传染的人数：5、R(t)：在t时刻，被治愈出院的病人数；6、Rn：第n天，被治愈出院的病人数；7、r(t)：在t时刻的治愈率,即)t(N)t(r)t(R=：8、D(t)：t时刻的死亡人数：9、Dn：第n天的死亡人数：10、d(t):在t时刻的死亡率，即)t(N)t(d)t(D=；11、Q(t)：t时刻退出传染系统的人数(包括t时刻死亡人数和治愈人数)，即：)t(R)t(D)t(Q+=：12、q(t)：在t时刻的退出率，即)t(d)I(r)t(N)I(Q)I(q+=5二、模型的建立与求解在SARS爆发的初期，由于潜藏期的存在,社会对SARS病毒的传播速度和
6、危害程度相识不够，所以政府和公众并不以为然；当人们发觉被感染者不断增加、死亡人数不断增多时，政府起先实行多种措施以限制SARS的进一步扩散.所以SARS的传播可以分为三个阶段：(1)限制前的臼然传播模式阶段。(2)过渡期阶段，即公众起先意识到SARS的严峻性到政府实行隔离措施前的一段时间内。(3)限制阶段，即政府实行隔离治疗措施阶段。但是，不管SARS传播处于哪个阶段，影响传播最本质的因素是：自由传染者的数量N(t),传播的概率S(I)及病毒本身的传播实力(用R(t)和D(t)来衡量)等。所以我们不分阶段进行考虑。第n天的病人是在第n-1天的基础上加上新增的病人，减去退出传染系统的病人，即：n
7、nlnInnRD)Is(NN+=移项得INRDNslnnnnln+=(1)经过转换，得nnInnlnInRDNNNs+=取微分得到下面连续的方程dl)t(Rdt)t(D)t(dN)t(N)t(Sdt+=即：)t(R)t(D)t(N)t(Sdt)t(dN=由此得到SARS的传播模型为：=+=)O(NN)t(r)t(d)t(q)t(N)t(q)t(N)t(sdt)t(dNO其中s(t)、d(t)、r(t)等参数可以为我们供应所须要的信息。我们只要能够知道s(t)、d(t)、r(t)的表达式，便可以求解微分方程得到N(t)。我们依据附件1中6月20号以前的数据进行拟合，得到s(t)、d(t)、r(t
8、)的走势曲线，从而实现对N(I)的预料。2.1对于s(t)-传染率我们依据附件1市疫情的数据，依据式对S进行描点，得到一些S的散点图。随着时间的推移，隔离措施、医疗保障、公众健康意识的加强，S值应当急剧减小，并趋近于0。因此对散点进行指数回来分析(利用Matlab软件)，便可得到S关于时间t的连续函数s(t),如图1所示.将附件1中的数据以excel表格的形式导入到matIab中并命名为sheet主程序为：N=sheet(:,1)-sheet(:,2)-sheet(:,3);fori=2:65D(i-l)=sheet(i,2)-sheet(i-l,2):0(i-l)=sheet(i,3)-sh
9、eet(i-l,3);endD=D;0=0;fori=l:64s(i)=(N(i+l)+D(i)+O(i)./N(i)-1;ends=s：cftool在CurveFittingTool窗口中选择Xdata、Ydata.进行Exponential指数拟合绘图如下：图1tl8.0c4485.Ots=)(从图中可以看出，拟合出的指数函数与散点数据基本吻合。依据新增死亡病例和新增治愈病例的数据，也可以得到d和r的散点图。2.2对于d(t)-死亡率随着医疗水平的提高以及对SARS病毒探讨的深化，死亡率将渐渐削减，我们对的散点图进行指数回来分析，即得d(t)(如图2)。图2t07644.OeOl118.O
10、td=)(2.3对于r(t)-治愈率在SARS疫情扩散的初期，传染系统的人数较少，由于人们对SARS病毒的了解不多，防危意识不强，导致疫情的爆发，传染系统的人数急剧增加，治愈率呈现降低的趋势；随着政府的干预，人们防危意识的增加，治愈率起先增加。同样我们对它进行指数回来分析得到如下结果(图3)：图3t08967.OeOOl117.Otr=)(将得到的s(t)、d(t)、r(t)代入微分方程，得.0)t(N)c001il7.OeOl118.0(e4485dt)t(dNtO8967.0t07644.0tl8.0+=我们利用matlab的微分方程数值求解吩咐。de45(),求得N(I)的数值解，并画出
11、随着时间改变的曲线(图4)：Matlab求解吩咐为：建立M文件eql.mfunctiondN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N主程序:t,N=ode45(eql,180,288);plot(t,N,r)图4三模型结果的分析与检验3.1模型与实际状况作对比图进行分析图5说明：Y轴表示SARS病人数，红色曲线表示我们得到的预料曲线；离散点表示实际统计数据由预料曲线可以看出：病情在5月12号左右达到高潮期，即图中曲线上升最快到起先平缓的过渡时期；疫情大约在6月12号之后
12、起先缓解。；感染系统也许在x=70时将降到0,因此，我们预料SARS疫情将在7月中旬得到基本的消退，即疫情的最终限制期；实际状况是：病情在5月15号达到最高峰，比模型中的结果晚到三天，误差较小。值得留意的是，我们所要预料的是6月以后的发展趋势，因此这里产生的误差对预料不会造成太大影响。疫情大约在6月12号之后起先缓解：由图上可以看出，在6月之后，预料曲线和实际离散点起先接近；通过在网上查阅资料3,可以知道在7月15口全国仅有15人SARS病人接受治疗，可以认为疫情已经基本消退，和预料模型的结果相吻合。由以上对比我们知道，建立的微分方程模型较完整地刻划了SARS病人数随时间改变的趋势，较好地解决
13、了非典疫情的预料问题。3.2灵敏度分析通过查阅文献知，治愈率）（t。的倒数为平均传染周期，我们假设一旦进行严格隔离，则传染周期将减小。设提前T天进行严格隔离，则原模型修改为:)t(NT)t(rll)t(N)t(d)t(N)t(Sdt)t(dN=当5=T时，分别代入相应的参数求解得到两条曲线，与O=T时进行比较.建立V文件eql.mfunctiondN=cql(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N;eq2.mfunctiondN=eq2(t,N)dN=(0.4485*exp(-
14、0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+l/(1/(0.OOl117*exp(0.08967*t)+5)*N;eq3.mfunctiondN=eq3(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+l/(1/(0.001117*exp(0.08967*t)-5)*N;主程序：x=l:1:65t,Nl=ode45(cql,180,288);t,N2=ode45(eq2,180,288)：t,N3=ode45(eq3,156,288)G提前5天限制在matlab中积分区间只能取到56plot(t,Nl,r,t,N2
15、,g,t,N3,k,x,N,b.)图6说明：黑色曲线表示提前5天进行隔离：绿色曲线表示延后5天进行隔离由图上可以看出依据我们提出的模型，提前实行严格的隔离措施能够大大缩短传染病的持续时间(大约能提前25天)；能提前进入疫情限制期；能对疫情进行有效地限制，这和实际状况也是完全吻合的。除了刚好实行隔离措施以外，其他能够缩短平均传染周期)t(rl的措施都能够有效地提高治愈率。如：对抗病毒药物的探讨，建立紧急防疫机制，提高医疗软、硬件水同等。通过以上两个方面的分析，我们认为我们的模型在刻划SARS病毒的传播方面具有较强的针对性，可为预防和限制SARS疫情供应牢靠、足够信息。3.3模型的评价3.3.1.模型的优点a.我们在模型建立的过程中，充分考虑到治愈和死亡这两因素对SARS病人数的的影响，引进了治愈率r(t)和死亡率d(t),使模型更加贴近实际。b.在数据有限的状况下，我们依据分析参数应有的改变规律，对数据进行指数回来分析，使离散的点连续化，建立了s、r、d关于时间t的函数关系式。c.利用s(t)、r(t)、d(t),我们利用求解微分方程的方法找到了N关于时间t的连续函数，使得SARS的传播问题描述的更加精确。在这里我们对模型中的)(Iq做一些探讨，作)(Iq的实
