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1、第一章随机大事的概率其次节概率的定义及性质四：概率的公理化定义统计概率克服了古典概率和几何概率的局限性。然而统计概率在理论上却是不严密的。因此，有必要建立概率的公理化定义。从概率的古典定义、几何定义和统计定义可以看出：尽管它们的定义内容不相同，但是概率P(A)都是随机大事A的实值函数，而且还具有共同的三条属性。因此概率的公理化定义应以这些共同的属性为依据，使它既可概括前述三种概率定义，又具有更广泛的一般性。据此我们得到概率的公理化定义如下：定义6设P(A)是定义在由试验石的一些大事(包含。和S)所组成的集合厂上的一个实值函数。假如P(A)满意下列三个条件：(1)对每一个A%OP(A)1;(非负
2、性)(2)P(s)=i；(称为法律规范性)(3)对互不相容的4尸，i=1,2,成立88P(4)=(A,),/=1/=1(称为可列可加性)则称尸(A)为大事A的概率。随机试验段样本空间S,F=A事件AuS(包含。和S),即方是一些(某些具有肯定结构关系的)随机大事组成的集合,称尸为大事域.(大事域尸的通俗说法：事妈，事婆，戳事娄子。)定义6设尸(A)是定义在厂上的一个实值函数，AF;并且P=P(A)满意下列三个条件：(1)对每一个A,OP(A)(A,),/=1/=1则称尸为耳上的概率测度函数，称P(A)为大事A的概率。这个定义称为概率的公理化定义.苏联数学家科尔莫戈罗夫于1933年提出了概率的公
3、理化结构，这个结构综合了前人的结果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年来概率论的快速进展起了乐观作用。科尔莫戈罗夫的这个理论已被普遍接受。概率测度的存在性：古典概率、几何概率和统计概率自然是它的特例.(S,P)称为概率空间.理论上在尸)上可以定义很多种不同的概率测度.(设/(%)是S=(-,+)上的非负可积函数，且(Xa=I,对任意可测集AuS,定义号(A)=Jj(X)明则简单验证号就是一个概率测度。函数无穷多，概率测度亦无穷多。)验证给定的集函数是概率也是很困难的.人们通常在某一有用的概率空间中争论.不难验证，古典概率、几何概率和统计概率都是公理化定义范围内的特别情形
4、。由定义可以推导出概率还具有下列几共性质：(4)不行能大事的概率为0,即P(0)=O；证：由于S=S+0+0+；且S0=0,00=0,故由性质(3)得P(S)=P(S)+P(0)+P(0)+,于是得P(0)=。；(5)概率具有有限可加性。即若A，4，A互不相容,则有nP(4)=ZP(A)；z=lZ=I证令A用=4+2=0,由性质(3)得P(4)=P(4)=P(A)=Zp(A)；=1i=Z=IZ=I(6)对任意大事A,有P(A)=1-P(A),P(A)=1-P(A);证：由于S=A+1,fiA=0,故I=P(S)=P(A)+P(A),即P(A)=1-P(A);(7)若BUA,贝”(A-B)=P(
5、A)-ZW,且P(B)P(A);证：由于5uA,所以A=B+(A-B),且(A-3)与B互不相容，故由有限可加性得P(A)=P(B)+P(A-B),即P(A-B)=P(A)-P(B)又由于OP(A-B)=P(A)-P(B),故P(B)P(A);(8)对任意大事AI有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)；P(A+B)P(A)+P(B)；证:因AB=A(B-AB),A(5-A5)=0故由性质(5)得P(A+3)=P(A)+P(B-AB)1又ABuB,故由性质得，P(B-AB)=P(B)-P(AB),于是得P(A+5)=P(A)+P(B)-P(AB)；由于P(A3)0,所以P(A+3)=P(
6、A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)(9)采用归纳法还可以证明:对任意几个大事A，A2,4,有p(A)=m)-p(ai.aj)i=li=llijn+Zp(444)+(_1尸P(A44)；ijknp(A)m-);=1Z=I当=3时有P(1A2A3)=P(A)+P(A2)P(4)-P(AlA2)-P(AA3)-P(A2A3)+P(AlA2A3).计算简单大事的概率或理论推导时要用到概率的性质.例6从佩戴号码为1至10的10名乒乓球运动员中任意选出4人参与竞赛。求竞赛的4人中：（1）最大号码为6的概率。（2）偶数号码不少于3个的概率。（3）至少有一个号码为奇数的概率。解：设A=”竞赛的4人中
7、最大号码为6”，B=竞赛的4人中偶数号码不少于3个”，C=”竞赛的4人中至少有一号码为奇数”，从10人中任选4人，每种不同的选法即为一基本领件，故基本领件总数为Gl）.（O大事A发生意味着6号运动员被选出，而此外3名只能从15号这5名运动员中任意选出。于是A含基本领件数为故543P(A)=-=.C110x9x8x721，7(2)令Bi=竞赛的4人中恰有，个偶数号码，i=3,40由于大事。发生意味着竞赛的4人中有，个是从佩戴偶数号码的5名运动员选出，而其余47个只能从佩戴奇数号码的5名运动员中任意选。故大事片所含基本领件数为CCT,)=3,4。04-i=i=3,4,do又由于3=鸟+星，且鸟鸟=
8、0,故有PGB)=P(员)+尸(见)=等+3=3.joJO4,(3)因C=a,于是,C441P(C)=I-P(C)=I-P(B4)=,(有人这样做，至少有一号码为奇数,就任选出一个奇数,其它三个从9个中任选，C1C3P(C)=-=2CIO这明显错了，错在哪里,错在这种计数有重复的,例如:先选出1,然后选3,2,4,1,3,2,4,与先选出3,然后选出1,2.4,3,1,2,4,两个是同样的.)求P(C)时，也可将C表成互不相容的大事之和：G+g+g+G；其中G=竞赛的4人中恰有i个奇数号码”2=123,4。分别求出P(G)后再采用概率的有限可加性便得到P(C)0P(G)=4算，i=0,l,23
9、4,CioC=Ci+C?+C3+C4fGCCC互不相容,P(C)=P(C1)+P(G)+P(C3)+P(C4)4142,例7将，个有区分的球随机地放入H个不同的盒中（每个盒子容纳球的个数不限），rn,试求：（O某盒（指定的一个盒）不多于两个球的概率；（2）至少有一盒多于一个球的概率；（3）恰有一盒多于一个球的概率。解：设A=某盒不多于两个球”，A=某盒恰有，个球”，=。，L2;B=至少有一盒多于一个球”，C=”恰有一盒多于一个球”每个球有种放法，由乘法原理知，T个球有屋种不同放法，基本领件总数为相。(O4含基本领件数为由于A=A)+4+A2,且4,4,4互不相容。故依概率的有限可加性得P(A)
10、=P(4)+P(A)+P(A2)(n-l)r+C(n-l)r-+C(n-l)r-2=言；(2)B=每盒最多有一个球”，方所含基本领件数为4,_f-=六所以由概率性质得ArP(B)=I-P(B)=I-;(3)设G=恰好第i盒多于一个球”，(此外的(”1)盒每盒最多有一个球)，cMP(Ci)=J./,，=1,2,由于C=G+。2+Cn,且C,G,C,互不相容，故依概率的有限可加性得尸(C)=P(CJ+尸(G)+P(G).六2留意从n个盒子中选出一个(D=某盒至少有一球”，P(D)=I-P(万)=1)例8袋中装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币.任取其中5个,求总值超过壹角的概率;(2)总值不少于
11、壹角的概率；(3)总值等于壹角的概率.解设A=总值超过壹角；5=总值不少于壹角；C=总值等于壹角，P(A),第1+C；C；C；+C；C；C；126J7C,9742,(2)Pd2+C；C；CCCC；CC；_186_31P(B)-a一两一瓶，P(C)=等CIo60974521例9从。9这十个数码中任意取出4个排成一行号码，求(1)所排号码恰排成四位偶数的概率;所排号码恰排成四位奇数的概率；(3)所排号码没排成四位数的概率.解(1)设A二排成四位偶数，(末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0),P(A)=阀C；=41工-90(2)设5=排成四位奇数,P(B)-()一可。一9。，设C=没排成四位数，即首
12、位为0P(C)=管/例10从。9这十个数码中任意取出4个，求所取的四个数码能排成四位偶数的概率。解设A=能排成四位偶数,考虑从全部组合中去掉全是奇数在一起的组合，（有人这样考虑，能排成四位偶数，只要四个数中有一个偶数就可以了，于是P=等=2,Clo这明显错误,计数中有重复。）例9与例10是不同的问题。作为组合问题与作为排列问题是不同的问题。作为组合问题，假如把分子分母都乘以4!,明显构成样本空间的每一种4个数的组合都可以给出4!个排列，但是构成分子的组合中，例如1,3,5,2）四个数一组，它们的全部排列中，既有奇数又有偶数；1,3,5,2与1,3,6,2虽然都等排成偶数，但它们排成偶数的个数是
13、不同的。）例11民航机场的一辆送客汽车载有5位旅客.设每位旅客在途中8个站的任何一站下车的可能性相同.试求：至少两位旅客在同一站下车的概率；(2)某站(指定的一站)恰有两位旅客下车的概率；仅有一站恰有两位旅客下车的概率。(剩下的是1,1,1组合或直接为3)解(I)A=至少两位旅客在同一站下车，K=每站最多有一位旅客下车，P(A)=与85P(A)=I-P(A)=1-4-=179498583,(2)设3=某站(指定的一站)恰有两位旅客下车，C2.73P(B)0.1()4785(3)设C=仅有一站恰有两位旅客下车，P(C)=C依-+CnC0.529885(8站中有一站有两人下车，其他三人在其它7站中各下一站或三人同一站下).
