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1、(一)问题分析只小船要渡过条宽为d的河流,目标是起点A正对着的另岸B点。已知河水的流速V1.与船在静水中的速度v2之比为k.(1)建立小船的航线模型，并求其解析解。(2)设d=100m,v1.=1.ms,v2=2ms,用数值解法求渡河所需时间，任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并于解析解比较：(3)若流速VI=O,0.5,1.5.2(ms),结果如何.这个问题涉及的主要变量有：船在静水中的速度v2,河水的速度，1,VI与v2速度之比为k,船的航行时间3船在任意时刻的位置X,y.由于k未知，所以船过河的具体航线有多种情况，但针对本题过河问题为了更好的解决问题，不妨做以下假设：(1)船的速度方向
2、始终指向终点B：(2)船在航行的过程中任意时刻的总速度与航线相切。通过以上假设，小船过河问题就简化为：速度求曲线轨迹问题，微分方程问题。(二)建立数学模型建立直角坐标系，为方便起见，将B点设为坐标原点，河岸为X轴，垂宜于河岸方向为y轴，如图所示。设在t时刻，小船的位置为(x,y)，船头指向与水平方向的夹角为a。则此时水平方向的速度为V1.-v2*cos（八）,直方向的速度为v2*sin（八）又由于水平方向的速度为dx如,竖直方向的速度为dydt,则可列出小船航线的微分方程：ddt=v1.-v2*cos（八）dy/dtv2*sin（八）又由于cos（八）=x/sqrt(xA2+yft2),sin
3、（八）=-y/sqrt(xA2+yA2)e则微分方程为：dx.fdt=v1.-v2*x/sqrt(xA2+yA2)dydt=-v2WSqrt(X2+y2)初始条件为：x(O)=O,y(O)=-100:6以上就是小船航线的数学模型.()求解模型的教学方法(解析解与数值解)解析解的得出，mat1.ab算法的具体实现，以及解析解的图形根据dxdt=v1.-v2*xsqrt(A2+y2)dydt=-v2*y，sqrt(xA2+yA2)两式相除得到dy.1.dx=v2*y(v1.sqrt(xA2+yA2)-v2)分高变量得到：dxx=1.u(-u*vI*sqrt(1.*u2y(vI*sqrt(I+u2)
4、-v2)其中U=y;然后利用加分方程得到X关于y的解析表达式：X=1/2*cA(-k)*yA(1.-k)-1.2cky(k+1)然后根据初始条件：x(OH).y(O)=-d,d=100;得到:c=-0.01.则小船航线的解析数学表达式为：X=1/2(-0.01)(-k)y(-k+1)-1/2(-0.011).解析解的mat1.ab程序：Xiaochuan.infunctionx-xiaochuan(y)k=0.3;=12*(-0.01).a(-k).*y.A(-k+1.)-1/2.*(-0.01).a(k).*y.a(k+1.)hanging.my=0:-0.1:-100;fori三0:1:1
5、000x(:,i+1.)=Xiaochuan(-i10);endp1.ot(x,y);tit1.e(,小船过河1)1.abe1.(,);y1.abe1.(y1.J,);hangxing.m(2)数值解法的具体实现与mat1.ab算法：根据此模型的微分方程：dx.dt=v1.-v2*XZSqrt(XA2+y2)dydt=-v2*ysqrt(x2y2)并且初始条件：x(O)=O.y(O)=1.通过龙格一一库塔方程求其数值解：由于该模型的参数为：河宽d,船在静水中的速度丫2,河水流速V1.,船在任意时刻的位置(x,y),时间3船在a点时t=0。则小船航线的微分方程的mat1.ab算法如下：Xiaoc
6、huan1.m：functiondx=xiaochuan1.t,v1.,v2)S=(X(I)A2+x(2)八2)A0.5;%x(1.),x(2)表示x,ydx=v1.-v2*x(1)s-(2)*v2s;$以列向址的形式表示小船过河的微分方程在编写运行程序时设定时间t的起终点和中间的等分点,终点时间根据船在静水中速度和水的流速设为50s,时间间隔为0.01s,1.v.mts=O:O.01:150;d-input(输入河宽d=);0=0,-d;opt=odeet(,re1.to1.,1.e-6,absto1.,1.e-9)；v1.三input(,输入河水潦速V1.=);v2=input输入船在静水
7、中速度v2=，)；t,x=ode1.5s(Sxiaochuan1.,ts,x,opt,v1.,v2);t,xsubp1.ot(1,2,1),p1.ot(t,),tit1.e(,x-t,),gtet(,1.轴),gtext(x轴)；grid;subp1.ot(1,2,2),p1.ot(:,1),(:f2),tit1.e(,小船过河图2,);gtext(x1.1.,),gtext(y1.1.,);grid;(四)计算所得结果当VI=Ins.v2=2ms.d=IOOm时Iv输入河宽d=100输入河水潦速VI=I输入船在静水中速度v2=2t,y值如下：15.260012.6707-69.631315.
8、270012.6771-69.611615.280012.6835-69.591915.2912.6899-69.572315,300012.6963-69.552666.57000.0970-0.000466.58000.0870-0.000366.59000.0770-0.000266.600.0670-0.000266.61000.0570-0.000166.62000.0470-0.000166.63000.0370-0.000166.64000.0270-0.0066.65000.0170-0.000()66.660.0070-o.oo则当d=100m,v1.=1.ms,v2=2ms
9、时t=6664s时小船到达对岸b点，渡河所需时间t=66.64s.小船任意时刻的位置如xt图所示，航线如“小船过河图2”所示(2)d=1.（三）m,v1.=O,0.5,1.5,2ns;v2=2ms时所得结果当d=1.()O,v1.=0,v2=2时，1.v输入河宽d=100输入河水潦速VI=O输入船在静水中速度v2=2t,x值如卜247.12000-5.760047.130-5.740047.14000-5.720047.15000-5.700047.16000-5.680047.170-5.660049,94000-0.120049.95000-0.100049.96000-0.0X0049.
10、970049.980049.990050.00000-0,06000-0.04000-0.02000-0.00此时由于t=00,v1.=O.v2=2.t=1002=50,小船过河时间t=50s.小船任意时刻的位置如xt图所示，航线如“小船过河图2”所示，结果与解析解相符合.当d=1.()0,v1.=0.5,v2=2时，1.v输入河宽d=100输入河水潦速v1.=0.5输入船在静水中速度v2=2t,x值如下:00-1.()0.()00.01000.0050-99.98000.02000.0100-99.96000.03000.0150-99.94000.04000.0200-99.920.050
11、00.0250-99.900053.26000.1071-0.028353.27000.0928-0.023353,28000.0783-0.018553.29000.0638-0.014153.30000.0493-0.009953.31000.0346-0.6253.32000.0199-0.002953.33000.0050-0.0005则根据t=5333s时小船到达对岸，小船任意时刻的位置如x-t图所示，航线如“小船过河图2”所示,结果与解析解相符合。当d=1.()(),v1.=1.5,v2=2时Iv输入河宽d=100输入河水流速V1.=1.5输入船在睁水中速度v2=2t,xj值如下：
12、62.250025.4391-7.250762.260025.4349-7.245262.2725.4307-7.239762.280025.4264-7.234262.290025.4222-7.228862.300025.41807.223362.310025.4137-7.217862.320025.4095-7.2124111.570013581-0.0001111.58001.3531-0.0001111.591.3481-o.o111.60001.3431-0.00011.1.1.61.1.3381-0.0001111.620013331-0.0001111.631.3281-0.
13、0000111.64001.3231-0.0000111.650013181-0.00111.66001.3131-0.0000XT图t轴此时由于d=1.()O,V1.=O.v2=1.5,t=1.1163,小船任意时刻的位置如XT图所示,航线如“小的过河图2”所示，结果与解析解相符合当d=100.v1.=2.v2=2时Iv输入河宽d=1()0输入河水流速V=2输入船在静水中速度v2=2t,xj值如下:96.1X0049.9382-3.516196.190049.9383-3.514796.2049.93833.513396.210049.9384-3.511996.220049.9384-3.510596.230096.240049.938549.9385-3.5091-3.5077149.9549.9992-0.4095149.960049.9992-0.4093149.970049.9992-0.4092149.980049.9992-0.4090149.990049.9992-0.4088150.000049.9992-0.4087小船过河图2则知小船不会到达到达正对岸，小船任意时刻的位置如Xt图所示，航线如“小船过河图2”所示，结果与解析解相符合。
