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1、第二章平稔过程1.指出下面所给的习必中.哪些是平松过程,哪当不是平稳过程？(1)设随机过程X(f)=e,，0,其中X具有在区间(0.“中的均匀分布解：Y该随机过程的数学期里为：,该随机过程不是平稔过程.(2)设班机过程X(f),-8X()=0=1-p其中0p1解：.该随H母程的数学期望为，、.)=X。)=1.PX)=1+()P(X)=0=P(常数)该随机过程的自相关函数为：=PX(t)=1.PX(+r)=1.=r结果与t无关：.该随机过程是平枪随机过程.(3)设(Xa.t21是独立同分布的加机序列，其中X/的分布列为XiIJ.j=1.2.-P22定义匕=fx)，试对随机序列匕,1.),讨论其平
2、极性.，六I解：VKX)=1.PXj=1.+(-1.)P=/3即Ry(,+M=npRY(m)该随机过程不是平稳过程,(4)设1.机过程X)=AeS(0M+),7ovrv+z=,其中。为正常数.从中是相互独立的叨机变显，且A服从在区间O.IJ上均匀分布,而服从在区间0,2”上的均匀分布。解：m1.(/)=X(r)=JACOSfcV+)=fda-)一cosiv1.+)d=O(常数；JnM211而自相关函数为：A该随机过程是平稳随机过程，(5;设随机过程Xa)=COSar1.8jm其中&在区间-JA.0U+-)中服从均匀分布。22解：随机变量。的概率密度为/=z4)O其它n,t=EXG)=f也cos
3、o)td=sin-S=sin()coM/不是常数t2：.该随机过程不是平稳过程。(6)设有曲机过程Xa)=X+%-8Vf+00,而随机向量(XJ)的协阵为:1.r解：tn1.(t)=EX(t)=E(X+Yr)=EXtEY当20时，明”)不是常数A该随机过程不是平检的机过程，(7)设有随机过程X(f)=X+%+Zr-9Vo,其中X.Y,Z是相互独立的1.机变fit各自的数学期里为0.方基为I.解：m,(t)EX(t)EX+Yt+Zt2=EX+EY+t2EZ=O(常数)自相关函数%(+r)w*(r)该随机过程不是平稳fif1.机过程。(8)设有的机过程X()=X1随机变St),那么以=,OX=2.
4、ft?：.mt)=EXit)=EX=a(常数).该随机过程是平稳随机过程.2 .设防机过程X)=sin5.其中U是在02打上均匀分布的随机变玻.试证(I)假设而T=U2，而XH)/=12)是平稳过程：(2)假设壮丁，而丁=0+),而XH)JO不是平稳过理.证明：(1)Y该随机过程Xa)=Sins的数学期望为jW,()=(/)=sinvft,=-cos1.,=(cos2t-IJ=O(常数)加2/r2r2m：.X)=12)是平梗随机过程。(2) .(X(r)je0rMo)的数学期望为n1.(/)=EX()=EsinV,/=rsinvidv=-CosvzIyr=-I-cos2t不是常数为2尸211t
5、1111(X()j0.+x)不是平稔过程.3 .设密机过程其中是常数.A与中是独立陆机变Iih服从在区间(O.211)中的均匀分布.A版从瑞利分布.其密度为设防机过程y)=8cos6V+CSinftV.fx,其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布N(0.2).(I)试证X)是平桧过程证明：对于随机过程Xa)=Aa(ct+)的数学期望为(常数:-Jx-e-J.vjy-cos(0t+)t1.=0自相关函数1(r,r+r)=2-cos0r=2cos0根据例4,Iifi机过程Y是平税随机过程，4,设S是周期为T的周期函数,而是在区间(0.T)上的均匀分布的的机变量，随机过程称为随机相位冏期过程.试
6、问X魁否为平稳过程，又问它是否具有各态历羟性ft?：Vmjt()=X（三）=S(1.+)dt+=ujS()dn=yS(wkw(周期的数性质)；.，”,(1)=(“)S(+r)：.Sa)Sa+)的周期也为./C,(.r+r)=yJS(u)S(u+rkM=yS(M)S(M+r)rfw=Rx()：.X()=S(r+)是平:稳防机过程.再讨论驰机过程x(t)的各态历羟性.=IunfX（三）Jr=IimrXaMhJTsO2/J-I/ty2/J5 .设(XH),evvxc是嵌1机相位冏期过程.它的一个样本函数XH)如以下图所示“周期丁和振帼“都是常数，相位b是区间(0,T)上的均匀分布.求次解：根据上图，
7、得T1.T.那么1X(3=Hwi)”矶+匚岁-网(F-；)/码6 .随机过程其中A和中是利Iq独立的随机变量，而。在区间(O.2n)上均匀分布，试问X是否具有各态历经性ft?：KX(r)=/4ACoS(03)=EAEcos(gr+)=EAcosfe1.)-d=EAJ-Sin(%/+夕)|7=0(常数)1,11”=EA1-sin2()fT(Tsin0T+cosdor)202T3。|(,=-EA2sin2J-(FsiniT+cos2J-)2zy1.,2T00=一4;-,sin20T-sin0a2n2T002T0：.该平稳过程具彳r数学期望各态历般性.下面讨论相应函数的各态历经性。令Hr)=X)X+
8、r)(固定r)由于A与相互独立,那么有令1.+那么有：.该平稳过程不舁备自相关函数各态经性7.随机过程其中A和B号均值为零不相关的随机变fit,KEA-=Eff2.试证明X(I)具有数学期更各态历经性.而无相关函数各态历经性.解：.mx(/)=EY(=fAsin+oos=Esin?+Effcosz=0(常数)=M2co(z+r-)+MEffsin(+r)=M2-cosr=Wx(r)Y该曲机过程是平稳随机过程。现证数学期望各态历经性.2sin2TIsiTCoS27-I1八=tA；0T22IT2.COSrHEcosr=Rx(r)该平衡过程具有数学期望各态历经性(利用均方极限的性质4)即自相关函数无
9、各态历经性8,设平稳过程X()fyr即平稳随机过程X具有IimRt(r)=f;：.平12随机过程关于数学期里具有各态历经性。9,设Xa)和丫是相互独上的平稔随机过程，证明z(t)=X(I)Y(I)也是平稳随机过程。证明：.”)=逐H)=HYa)=AyH)=%/(常数)=1X()X(+D1.1r(/)r(/+)1.=Rx()Rr(r)与，无关：.随机过程Z(r)=X丫(。也是平稳防机过程.10 .设平稳过程X0和y相互独立.z=z(o+x(o.试求Za)的自相关函数.解：z(+r)=EZ(t)Z(1.+r)=f(XO)+Y(t)1.Z(+r)+Y(t+r)VXS,丫都是平稳过程EX(t)=mx(
10、常数)，EY(f)=Hir(Wft)：.Rx(tj+r)=x(r)+Rr(r)+Inix-ttr11 .平枪过程(X),11ore的相关函数为()=4e1.dcos+COS3度求均方值EX:(/)解：根据平梗过程自相关函数的性质有13.设有随机过程其中A.是相互.独立随机变地，而A的均值为2.旗为4：中在(-心开)上服从均匀分布；”在(-5,5)上服从均匀分布，试求Xa)的自相关函数，并向XH)是否平稳以及是否具有各态历羟性.解：；mx(r)=EX(t)=EAcos(ftX+)=EA-Ecos(c(+)=2-sin(ofU；SinJ二-0(cos。)a-d=Q(常数)ti211I2乃：.该随机
11、过程具有平检性.又YC,(r)-snr=0=/?/；rr-*5该平稳过程关于数学期里具有各态历经性.又.=r,.该随机过程不具有相关函数各态历经性。14：设有随机过程其中平稔过程Xa)和y(/)仅腐机变量V三者相互独立，且八=0,%=0RN(T)=2ecos0,Ri(r)=9+e3r：,又EV=2,DV=9试求Z”/的数学期望,和相关函数.解：R(r)=2e*cos%r,r(r)=9+1产EXi=Rx(O)=2EY2=9+1=10.DX=EX2-(EX)2=EX2-m=2：./n;(f)=EZ(I)=E1.VX,1.Y1.,1.=EVEX(f)EY(f)=2OO=O.OV=EV2-(W)2.E
12、V2=13.OZa)=I320=26015：设X，是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为“X(-r),“1.,力是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声,记为Nft).于是接收机收到的全信号为假定X(t)和N(t)平稳相关.(I)求互相函数R”.(r)：(21假设N(t)的数学期望为零.且与X(t相互独立.求KXy(T).解:(1)先求互相关函数RXr(r)(2) VX(t)与N相互独立，且ENa)=Ofy(r)=aRx(r-r1.)+EY()ENu)=ORX(r-r1.)16：设有两个平稳过程X(f)=cos(/+),y(r)=bsin(0f+)t_IOcos(1.1.r+)sin(y+nr+)17 .设*(，),一力/4是独立同分布质机过程.11,E(X)/=0.DX(r)=1.试问X)是否为平稳过程？又Xa)是否均方连
