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1、对数函数教学设计三维目标：1 .理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质.2 .了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想.3 .能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题.4 .认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识.5 .掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解.6
2、 .通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质，培养学生数学交流能力.教学重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.教学难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明.课时安排：1课时教学过程：导入新课：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数X的函数，这个函数可以用指数函数y=h表示.现在,我们来研究相反的
3、问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，细胞，那么，分裂次数X就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是=1.og,y.如果用X表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=1.og2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数一一对数函数.教师点出课题：对数函数.推进新课：新知探究提出问题(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的T写出存留污垢X表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的三，则至少04要漂洗几次？(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？(3)为什么对数函数的概念中明确规定a
4、0,a1.?(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论.31讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的力则每次剩余污垢的彳，漂洗1次存留污垢X=,漂洗2次存留污垢X=(1)2,，漂洗y次后存留污垢x=(1)y,因此y用X表示的关系式是对上式两边取对数得y=1.og】X,当x=j时，y=3,因4此至少要漂洗3次.(2)对于式子y=IogIX,如果用字母替代;，这就
5、是一般性的结论，即对4数函数的定义：根据对数式X=Iogay(a0,a1.),对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的X值和它对应.根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，X是因变量.函数X=Iogay(a0,a1.,y0)叫做对数函数.它的定义域是正实数集，值域是实数集R由对数函数的定义可知，在指数函数y=ac和对数函数y=1.ogi1.y中，x,y两个变量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数y=k里，X当作自变量，y当作因变量，而在对数函数X=IOgHy中，y当作自变量，X是因变量.习惯上，常用X表示自变量，y表示因变量，因此对数
6、函数通常写成y=1.ogax(a0,a1.,x0).(3)根据对数与指数式的关系，知y=IogaX可化为a，=x,由指数的概念，要使a=x有意义，必须规定a0,a1.(4)因为y=1.ogax可化为x=ay,不管y取什么值，由指数函数的性质ay0,所以x(0,+8),对数函数的值域为R.(5)只有形如y=1.ogax(a0,a1.,x0)的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1,底数是正常数，真数是X的形式，否则就不是对数函数.像y=1.oga(x+1.),y=21ogx,y=1.og,x+1.等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.提出问题：X14121248y=Iog2
7、X-2-1O123再用描点法画出图象如下图.方法二：画出函数=1.og2y的图象，再变换为y=1.og2的图象.由于指数函数y=a,和对数函数x=1.ogay所表示的X和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x=1.og2y和y=2x的图象是一样的(如下图(1).用X表示自变量,把X轴、y轴的位置互换，就得到y=1.og2X的图象(如下图).位置，得到通常的y=1.og2X的图象(如上图(3).观察对数函数y=1.og2X的图象，过点(1,0),即x=1.时，y=0；函数图象都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x1.时，y=1.og2X的图象位于X轴上方，即x1.时，y0；函数y=1.og
8、2X在(0,+8)上是增函数.对数函数y=1.ogax(a0,a1.),在其底数a1及OVaV1.这两种情况下的图象和性质可以总结如下表.a1.0a11y1.x1OJ=1.ogx(01时,y0；当OVXV1.时，y1时，y0(5)是(0,+8)上的增函数(5)是(0,+8)上的减函数应用示例：例1求下列函数的定义域：(1.)y=1.ogax2;(2)y=1.oga(4-x).解：(1)要使函数有意义，必须20,即XW0,所以函数y=1.og“x2的定义域是xx=0,或记为(一8,0)U(0,+8).(2)要使函数有意义，必须4-0,即xV4,所以函数y=1.oga(4一)的定义域是(-8,4)
9、.点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.变式训练求下列函数的定义域：(Dy=Iog3(2x+2)；(2)y=1.og(x-2)(x1).答案：(1)(-1,+);(2)(2,3)U(3,+).例2(1)比较1.ogz3与1.ogz35的大小；(2)已知IOgo门(2In)VIOgo.7(m1),求m的取值范围.解：(1)考察函数y=1.og2x,它在区间(0,+8)上是增函数.因为3V3.5,所以1.og23V1.og23.5;(2)考察函数y=1.ogo,以，它在(0,+8)上是减函数.因为1.ogo,7(2m)m-10.2m
10、m1,由 tnT0,得m 1.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较下列各组数中的两个值的大小:(1)1.og25.3,1.og24.7；(2)1.og0.27,1.og0.29;(3)Iog3,1.ogn3;(4)1.ogi,3.1,1.oga5.2(a0,a1.).解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y=1.og2X的图象，如下图.在图象上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，所
11、以1.og24.71.og25.3.解法二：由函数y=1.og2X在(0,+8)上是单调增函数，且4.7V5.3,所以1.og24.71.og25.3.(2)因为0.2V1.函数y=1.og0.2X是减函数，7IogoW.(3)解法一：因为函数y=1.og3x和函数y=1.ogxx都是定义域上的增函数，所以1.ogx31.og,1.H=I=IOg33VIOg3.所以1.ogjt31,因此IOgX3VIog3n.(4)当a1.时，y=1.ogaX在(0,+8)上是增函数,且3.1V5.2,所以1.oga3.1VIogM2.当0a1.oga5.2.知能训练：1 .函数y=1.og2-2的定义域是(
12、)A.(3,+)B.3,+)C.(4,co)D.4,o)2 .求y=1.ogo,3(2-2x)的单调递减区间.3 .求函数y=1.og2(2-4x)的单调递增区间.4 .已知y=1.oga(2-a5c)在0,1上是X的减函数，求a的取值范围.答案：1.D要使函数有意义，需1.ogzx220,1.og2x2,x24,因此函数的定义域是4,+8).5 .先求定义域：由X?2x0,得x(x2)0,所以XVo或x2.因为函数y=1.ogout是减函数，故所求单调减区间即为t=x2-2x在定义域内的增区间.又t=2-2x的对称轴为x=1.,所以所求单调递减区间为(2,+8).6 .先求定义域：由2-4x
13、0得x(-4)0,所以XVo或x4.又函数y=1.og2t是增函数，故所求单调递增区间即为t=x2-4x在定义域内的单调递增区间.因为t=x2-4x的对称轴为x=2,所以所求单调递增区间为(4,+8).7 .解：因为a0且(1)当a1.时，函数t=2a0是减函数；由y=1.oga(2-a3t)在0,1上是X的减函数，知y=1.ogj是增函数，所以a1；由xC0,1时，2-ax2-a0,得aV2,所以1.0是增函数；由y=1.oga(2-ax)在0,1上是X的减函数，知y=1.ogat是减函数，所以0a0,所以OVaV1.综上所述，OVaV1.或1.VaV2.拓展提升：探究y=1.ogi1.x的图象随a的变化而变化的情况.用计算机先画出y=1.0g2X, y=log3x, y=logsx，y= 1.ogx, y=logx 的图象，如下图.J,=1.ogx7=1.og2xj=log3xy=1.0g5XJ=Iogx通过观察图象可总结如下规律：当a1.时，a值越大，y=1.ogi1.x的图象越靠近X轴；当0aV1.时，a值越大，y=1.oguX的图象越远离X轴.课堂小结：1 .对数函数的概念.2 .对数函数的图象与性质.作业：课本习题32A4、5.
