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1、1第四章第四章 若干数学观点中的数学文化若干数学观点中的数学文化第一节第一节 “对称对称”的观点的观点23数学公式中的对称数学公式中的对称 海伦公式海伦公式 其中 正弦定理正弦定理 对称多项式对称多项式Ss sasbsc2abcssinsinsinabcABC222123123123fx x xx x xx x x4对称对称 照镜子照镜子 夫妻夫妻 比赛循环赛比赛循环赛 足球足球非对称非对称 照哈哈镜照哈哈镜 父子父子 比赛淘汰制比赛淘汰制 非对称战争非对称战争其它的一些例子其它的一些例子5阿拉伯建筑物的外墙阿拉伯建筑物的外墙 美国哈佛大学曾发表一份美国哈佛大学曾发表一份研究报告称，伊斯兰世界
2、对数研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界掌握了西方世界500年后才掌年后才掌握的数学概念。握的数学概念。 6文学中的对仗文学中的对仗 上联对下联： 明月 - 清泉 自然景物 明-清（形容词）； 月-泉 （名词）明月松间照清泉石上流78作为多面体的足球作为多面体的足球910 富勒烯的发现富勒烯的发现11克鲁托克鲁托 (H. W. Kroto, 1939-)19961996年诺贝尔化学奖得主年诺贝尔化学奖得主斯莫利斯莫利 ( R. E. S
3、malley,1943-2005)12 我我1933年年8月月23日出生在美国德州的日出生在美国德州的Alice. 我的我的父亲是一个卫理公会的牧师父亲是一个卫理公会的牧师, 母亲是家庭主妇母亲是家庭主妇. 我有我有一个姐姐一个姐姐, 她叫玛丽她叫玛丽. 在过去在过去, 卫理公会的牧师游动卫理公会的牧师游动频繁频繁, 因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部的因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部的一个又一个的小镇中度过一个又一个的小镇中度过: Alice, Brady, San Antonio, Kingsville, Del Rio, Brownsville, McAllen, Austin
4、, 然后又回到然后又回到San Antonio. 在此期间教会管在此期间教会管理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲突方面的管理才能突方面的管理才能. 所以从我九岁起我父亲就不再当所以从我九岁起我父亲就不再当教会牧师教会牧师, 而成了一名地区教会活动的主管而成了一名地区教会活动的主管. 这就将这就将我解脱了我解脱了, 使我有时间担当使我有时间担当“儿童传道士儿童传道士” 并成为并成为人们关注的中心人们关注的中心19961996年诺贝尔化学奖得主年诺贝尔化学奖得主13Richard Buckminster Fuller (1895-1983) 建
5、筑学家建筑学家 富勒富勒14 那么，那么，什么是什么是“对称对称”的共性？的共性？ 什么是什么是“对称对称”的本质？的本质？ 如何用数学语言描述如何用数学语言描述“对称对称”？ “对称即群对称即群”15 二、平面图形的对称二、平面图形的对称 问：问：正三角形与正方形谁正三角形与正方形谁“更更”对称一些？对称一些？123456KKKKKK161.1. 在运动中看在运动中看 “对称对称” 可以把可以把“平面图形的对称平面图形的对称” 轴对称、轴对称、 n次中心对称、平移对称中用到的次中心对称、平移对称中用到的运动分为三类：运动分为三类： 反射反射 旋转旋转 平移平移17 2 从不变性看从不变性看“
6、对称对称” 这 些 运 动 都 是 变 换 ； 这 些 变 换 共 同 的 特 点这 些 运 动 都 是 变 换 ； 这 些 变 换 共 同 的 特 点是，都是，都保持平面上任意两点间的距离不变保持平面上任意两点间的距离不变。所。所以 ， 把以 ， 把 反 射 、 旋 转 、 平 移 ， 以 及 它 们 的反 射 、 旋 转 、 平 移 ， 以 及 它 们 的相继实施相继实施，统称为，统称为 “保距变换保距变换”。 （有意（有意 避开避开“滑动反射滑动反射”，含于，含于“相继实施相继实施”中）中）18 变中有不变变中有不变 注意，在上述注意，在上述“保距变换保距变换”的定义下的定义下, ,“不
7、动不动”也是一种也是一种“保距变换保距变换”, ,它可以看成旋转它可以看成旋转0o的的“保距变换保距变换”, ,也可以看成也可以看成平移平移 a=0 的的“保距变换保距变换”. .这样，这样，任何平面图形任何平面图形都会都会在某种在某种“保距变换保距变换”下不变下不变, ,因为它至少在因为它至少在“不动不动”下不变下不变. .如果一种如果一种平面图形（例如一般三角形）只在平面图形（例如一般三角形）只在“不动不动”这种这种“保距变换保距变换”下才不变下才不变, ,那么我们就认为该平面图形的对称性最差那么我们就认为该平面图形的对称性最差, ,或者干脆或者干脆说它说它“不不对称对称”. . 19 由
8、这一观点自然的延伸由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把这就是把所有使某平面图形所有使某平面图形 K 不变的不变的“保距变换保距变换”放在一起放在一起,构成一个集合构成一个集合,记为记为S(K) 并称其为并称其为K的对称集的对称集.1212()()S KS KKK的对称性强于203. 抽象观点与具体例子的对照抽象观点与具体例子的对照123456()()8()12()6()2()1S KS KS KS KS KS K 21正三角形与正方形谁更对称一些？正三角形与正方形谁更对称一些？答：正方形比正三角形更对称
9、一些。答：正方形比正三角形更对称一些。 4()6S K2()8S K22 4. 小结小结 从从 “对称对称”的现象，到发现的现象，到发现 “变中有不变变中有不变” 的本质，的本质，再提出再提出“保距变换保距变换”；把保持图形；把保持图形K不变的不变的“保距变换保距变换”放放到一起，构成一个集合，称之为到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集的对称集”，用它来描，用它来描述述K的对称性的对称性；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。验证
10、我们的理论。 “从实践中来，又到实践中去从实践中来，又到实践中去” 反观前面关于反观前面关于“对称对称”的例子。的例子。2324数学公式中的对称数学公式中的对称海伦公式海伦公式 其中 正弦定理正弦定理对称多项式对称多项式Ss sasbsc2abcssinsinsinabcABC222123123123fx x xx x xx x x25对称对称 照镜子照镜子 夫妻夫妻 比赛循环赛比赛循环赛 足球足球非对称非对称 照哈哈镜照哈哈镜 父子父子 比赛淘汰制比赛淘汰制 非对称战争非对称战争其它的一些例子其它的一些例子26文学中的对仗文学中的对仗 上联对下联： 明月 - 清泉 自然景物 明-清（形容词）
11、； 月-泉 （名词）明月松间照清泉石上流27作为多面体的足球作为多面体的足球28 思思 ：请你用运动的观点，：请你用运动的观点，“变中有不变变中有不变”的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的对称性。对称性。29 三、子集的对称三、子集的对称 把讨论把讨论 “平面图形的对称平面图形的对称” 中形成中形成的数学思想提炼出来，用的数学思想提炼出来，用“子集的对称子集的对称”的语言来的语言来统一地描述任一客观事物的统一地描述任一客观事物的“对称对称”。30任一客观事物都可以看作某一个集合任一客观事物都可以看作某一个集合M的子集的子集 MN2RRKR31 1. 集合上的
12、可逆变换集合上的可逆变换 设设M是一个集合，则是一个集合，则M到自身的一个映射到自身的一个映射称为称为“M上的一个变换上的一个变换”；M到自身的一个可到自身的一个可逆逆映射称为映射称为“M上的一个可逆变换上的一个可逆变换”。 322.子集的对称子集的对称MN2RR考虑考虑M上的上的有特点的有特点的可逆变换可逆变换KR33 变中有不变变中有不变，“变变”,是指集合是指集合M上有特上有特点的一些可逆变换点的一些可逆变换,每个可逆变换每个可逆变换 都都“改变改变”了集合了集合M中的元素和子集中的元素和子集.这里的这里的“不变不变”,是指对于是指对于M的一个具体的子集的一个具体的子集N,有些有些 在整
13、在整体上保持体上保持N不变不变,即即 称这样的称这样的 为为“N的对称变换的对称变换”.把所有这样的把所有这样的“对称变换对称变换” 放 到 一 起放 到 一 起 , 构 成 一 个 集 合构 成 一 个 集 合 , 记 为记 为称为称为“N的对称集的对称集”，用来描述用来描述N的对称性的对称性。()| () S NNN()NN与 对照，基本精神是一致的。()S K34 3. 小结小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称对称”的本质的本质抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象观点来返观客观
14、实际中抽象观点来返观客观实际中“对称对称”的例子，看到抽象观点的例子，看到抽象观点与感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观与感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一，而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种种数学方式的理性思维数学方式的理性思维。这一点在哲学上的叙述为：理论来。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过源于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实践来检验。实践来检验。35四、对称变换群四、对称变换群 上面把上面把“对称对称”这一概念，用集合及这
15、一概念，用集合及变 换 的 语 言 严 格 叙 述 出 来 了 ， 并 由变 换 的 语 言 严 格 叙 述 出 来 了 ， 并 由此给出了此给出了“子集子集N的对称变换的对称变换”和和“子子集集N的对称集的对称集 ”的概念，并用它们来的概念，并用它们来描描述述N的对称性的对称性。()S N36 子 集子 集 的 对 称 集的 对 称 集 ， 不 是 一 个 普， 不 是 一 个 普通的集合，而是一个通的集合，而是一个具有代数结构的集合具有代数结构的集合。它。它的结构表现在：的结构表现在： 中有运算，即中有运算，即 S(N) 中任意两个中任意两个元素的相继作用，记为元素的相继作用，记为 ；运算
16、还有规律，；运算还有规律，这些规律如下：这些规律如下： N()S N()S N1237S(N)中任意两个元素中任意两个元素 , , 相继作用的结果相继作用的结果仍保持仍保持N整体不变，故整体不变，故 仍在仍在S(N)中中, ,称之称之为为S(N)中的运算满足中的运算满足封闭律封闭律( (一般说一般说“运算运算”, ,就就隐含封闭隐含封闭, ,为强调为强调, ,单列一条单列一条) )；1212S(N)中任意三个元素中任意三个元素 ， ， 的运算，的运算， 是先做是先做 的运算还是先做的运算还是先做 的运算，的运算，效果是一样的，即（效果是一样的，即（ ） = ( ), = ( ), 称 之 为称 之 为 S ( N ) 中 的 运 算 满 足中 的 运 算 满 足 结 合 律结 合 律 ；123121321232338S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的同数的乘法中的1，与任何元素作运算都保持该与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为元素不变，称之为S(N)中的运算满足中的运算满足幺元律幺元律；对对S(N)中任一元素中任一元素 ，
