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1、1前言前言1 1. . 振动在空间的传播过程叫做波动。振动在空间的传播过程叫做波动。 2. 常见的波有两大类常见的波有两大类:在微观领域中还有在微观领域中还有物质波（概率波），讨论微观粒子物质波（概率波），讨论微观粒子的波动性。的波动性。3. 各种波的本质不同各种波的本质不同, , 但其基本传播规律有许多相同之处。但其基本传播规律有许多相同之处。 (1) 机械波机械波 (机械振动的传播机械振动的传播)(2)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）电磁波（交变电场、磁场的传播）第第1515章章 机械波机械波2按波面形状按波面形状平面波平面波（plane wave ）球面波球面波（spherical
2、wave ）柱面波柱面波（ cylindrical wave ）按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波（simple harmonic wave ）复波复波（ compound wave ）按持续时间按持续时间连续波连续波（continued wave ）脉冲波脉冲波（pulsating wave ）4. 波的分类：波的分类：3按波形是否按波形是否 传播传播行波行波（ travelling wave ）驻波驻波（standing wave ）4波动波动一定的一定的扰动扰动的传播的传播（一定运动（一定运动形态形态的传播过程）的传播过程）行行 波波POyxxu扰动的传播（行走）扰动的传播（行走）行波行波
3、一次扰动（脉冲）的传播一次扰动（脉冲）的传播脉冲波脉冲波例：例：抖动绳子抖动绳子)(0tfy )(uxtfyO点点:P点点:脉冲波波函数脉冲波波函数515.1 弹性体弹性体 弹性形变弹性形变弹性体弹性体若物体在外力的作用下发生形变，而外力撤消后又能恢复原来的大小和形状，则这种变形体就称为弹性体弹性体。15.1.1 15.1.1 拉伸与压缩拉伸与压缩S图15-1 应力与应变FtFFN正应力：正应力：limNFS切应力：切应力：limFS6相对形变：相对形变：000lllll（也称线应变），（也称线应变），正负号分别对应于拉伸形变和压缩形变。正负号分别对应于拉伸形变和压缩形变。胡克定律：实验表明在
4、线形变限度内，正应力和线应变成正比，胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比，比例系数称为杨氏模量。比例系数称为杨氏模量。Yl其中 分别对应均匀弹性杆的原长和变形后长度。0lFFl0l715.1.2 15.1.2 剪切应变与切变模量剪切应变与切变模量切应变切应变15.1.3 15.1.3 体应变与体积模量体应变与体积模量体积应变体积应变VVFFddStandd微小形变时，微小形变时，tan此时，剪切形变可直接用此时，剪切形变可直接用来表示。来表示。记作记作K正应力其中，比例系数其中，比例系数(3(1 2 )YKvv为比例系数）-体积弹性模量1kK体积压缩系数实验表明：在线形变限度
5、内，切应力与切应变成正比：GGG 称为切变模量81、机械波产生的条件、机械波产生的条件1）波源）波源2）弹性介质或者弹性媒质）弹性介质或者弹性媒质2、横波：、横波： 纵波：纵波：共性：波动性共性：波动性15.2 机械波的产生和传播机械波的产生和传播910常用的概念：常用的概念：周期：周期：波速：波速：相速：相速：波面：空间同相位点的集合波面：空间同相位点的集合 波前波前球面波：球面波： 平面波：平面波： 波线：波的传播方向波线：波的传播方向 各向同性介质，波各向同性介质，波 线与波面垂直线与波面垂直2vTuT(时间时间)频率：频率：T/1波长：波长：空间频率：空间频率：/1T/23.3.波的描
6、述波的描述波数：波数：2k1115.3 一维平面简谐波的波函数一维平面简谐波的波函数- 波函数波函数设一维平面简谐波以相速设一维平面简谐波以相速 u 沿沿 x 轴正向传播轴正向传播, t时刻波形如图时刻波形如图),(trO 点的振动位移为点的振动位移为)cos(), 0(0tAty0cos),(uxtAtxyP 点的振动位移为点的振动位移为( op = x )02cos),(xTtAtxy或或0cos),()0 , 0(AuxxyyPyxOu15.3.1 表达式表达式 12定义角波数定义角波数)cos(),(0kxtAtxy)cos(),(0kxtAtxy)cos(),(0rktAtr)cos
7、(),(0krtrAtr2ku定义定义 波矢波矢k例：例：“+” 会聚球面波会聚球面波“-” 发散球面波发散球面波沿负方向传播的波的方程沿负方向传播的波的方程0cos),(uxtAtxy0cos),(uxtAtxy同一同一振动振动状态状态X处比处比0处超前处超前t=x/u0cos)0 ,(uxAxy0cos), 0(uxAuxy13波函数的物理意义波函数的物理意义1、当、当 x 一定时一定时, 例例: x = x0 = 常数常数令常数令常数-x0处简谐振动运动方程处简谐振动运动方程0cosuxtAy00cosuxtAy1costAyux010T2反映了反映了振动的时间周期性振动的时间周期性12
8、costTAyt每增加T，y不变142、当、当 t =t0=常数常数00cosuxtAy100t令令t0时刻的时刻的波形波形 xA2cos1- t0 时刻各点振动周相时刻各点振动周相 不同不同x每增加每增加，y不变不变反映了反映了波的空间周期性波的空间周期性xtAy2)(cos000cosuxtAy15xAy2cosxTAy24cosxTAy22cos当当 0 = 01） t0= 040Tt 20Tt 3）2）- t=0 时各质点的位移时各质点的位移 t0 = T波形恢复原样波形恢复原样 而在一个而在一个 T 内波形向右移动了内波形向右移动了 T 这个物理量从这个物理量从时间时间上反映了上反映
9、了波的周期性波的周期性0t4/Tt 4/2Tt 4/3Tt yxO163、x , t 都变都变表示波射线上不同质点在不同时刻的位移表示波射线上不同质点在不同时刻的位移 -行波行波 波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，时刻波形，初位相及比原点落后的相位，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。0)(2cosxTtAy由由看出看出t或或x每增加每增加T或或,相位重复出现，反映了时间和空间的周期相位重复出现，反映了时间和空间的周期 性。性。0cosuxtAy
10、17例：例：已知：图示为波源（已知：图示为波源（x=0处）振动曲线处）振动曲线且波速且波速u=4m/s, 方向沿方向沿x轴正向轴正向.求：求：t=3s时波形曲线（大致画出）时波形曲线（大致画出）解：解：48 12y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123418例：沿例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为轴正向传播的平面简谐波，振幅为A=1.0m，周期，周期T=2.0s， 波长波长 =2.0m。t = 0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置 向向 轴正向运动，求轴正向运动，求: (1)(1) 波函数；波函数；(2)(
11、2) t =1.0 s时刻的波形图；时刻的波形图； (3)(3) x=0.5 m 处质点的振动曲线；处质点的振动曲线；解：解：(1)2cos)(tAtT2波函数波函数2)(2cos),(xTtAtx(3)2cos(xA(2)(costAx /m /mot = 1.0 s01.02. /mot /s 01.02.x = 0.5 mk219例：沿例：沿x轴正向传播的平面简谐波，波速轴正向传播的平面简谐波，波速 u=20 m/s，已知，已知 A A点的点的振动方程为振动方程为 ，(1)(1)以以A A为坐标原点，写出波方程；为坐标原点，写出波方程； (2)(2)以以B B为原点写出波方程；为原点写出
12、波方程；(3) (3) 写出写出C C、D D点的振动方程点的振动方程cm)4cos(3t解：解：xABCDm8m5m9u14s15muk(1)cos(0kxtAcm)54cos(3),(xttx(2) B点与点与A点振动的相位差点振动的相位差xkxxAB)(212cm)4cos(3tBcm)54cos(3),(xttx(3)cm)5134cos(3tCcm)594cos(3tD原点振动方程原点振动方程)cos(00tA波函数波函数)4cos(tAA与坐标原点的选择无关与坐标原点的选择无关20例例2 正向波在正向波在t =0时的波形图时的波形图波速波速u=1200m/sA/2AA0y0= /3
13、M= -/2t =0 x=0t=0 M处处求：波函数和波长求：波函数和波长解：解：)(cos0uxtAy设)(10. 0cmA由图由图如何确定如何确定 0 ?由初始条件：由初始条件：y0=A/2 v00M= -/265230M状态相同点与点经001201120010tssuoMtM100t3)1200(100cos10. 0 xty)(242muuT21例例. .一平面简谐波沿着一平面简谐波沿着x x轴正向传播，速度为轴正向传播，速度为u u，已知，已知tt时刻的时刻的波形曲线如图所示，波形曲线如图所示，x x1 1处质元位移为处质元位移为0 0。试求：。试求：（1 1）原点）原点O O处质元
14、的振动方程；处质元的振动方程；（2 2）该简谐波的波函数。）该简谐波的波函数。xyOx1-Au解：（解：（1 1）由图可知）由图可知tt时刻原点处质元振动的相位为时刻原点处质元振动的相位为- -/2/2，则，则有：有：2t 122uttx 则振动的初相为：则振动的初相为：所以振动方程可以写出：所以振动方程可以写出：11cos()cos()2OuuyAtAttxx22（2 2）在）在x x轴上任意选取一点轴上任意选取一点P P，坐标为，坐标为x x，如图所示。，如图所示。P P点振动相点振动相位落后于原点位落后于原点O O，其相位差为：，其相位差为：11.OPu xxuxux11cos()cos
15、 ()22uyAttAu ttxxx 根据原点处质元的振动方程，可以得到根据原点处质元的振动方程，可以得到P P点的振动方程，即波点的振动方程，即波函数为：函数为：OPxx注：注：2k OPOP23(a)例例 平面简谐波以波速平面简谐波以波速u=0.5m/s沿着沿着x轴负方向传播。在轴负方向传播。在t=2s时时的波形如图（的波形如图（a）所示。求原点处质点的振动方程。）所示。求原点处质点的振动方程。-3-2-10123-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5x/my/m分析：由图可得到的信息有分析：由图可得到的信息有振幅，波长，从而可以确定振幅，波长，从而可以确
16、定振动方程三要素中的两个。振动方程三要素中的两个。确定确定t=0时刻原点的振动初时刻原点的振动初相位是关键。相位是关键。解：由图可知：振幅：0.5Am波长：2.0m24所以，可以得到角频率所以，可以得到角频率：22.0.5(/ )22k uurad s图（图（a）是）是t=2s时的波形曲线，波沿着时的波形曲线，波沿着x轴负向传播，所以可以采轴负向传播，所以可以采用用波形移动法波形移动法推知推知t=0s时的曲线，如图（时的曲线，如图（b）。）。-3-2-10123-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5x/my/m(b)x=ut由图可知，由图可知，t=0时时刻，原点处的质点刻，原点处的质点正位于平衡位置，正位于平衡位置，而且向而且向y轴负向运轴负向运动，所以，由旋转动，所以，由旋转矢量法可知：矢量法可知：0225所以原点处质点的振动方程为：0cos()0.5cos()22yAtt例例 一平面简谐波其波长为一平面简谐波其波长为12m，沿，沿x轴负向传播，如图所轴负向传播，如图所示的是示的是x=1.0m处质点的振动曲线。求此波的波函数。处质点的振动曲线。求此波
