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1、 观点和方法是数学的两个方面:既紧密联系,又有所区别。但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美。“不能不” 反证法通常的证明方法:“对”“不对”矛盾例12.是无理数反证法:2, ,p q不假设是有理数 那么存在的正整数可约使得2222.qpqqp为偶数222 ,2,.qmpmp设则于是为偶数矛盾也177.是有理数至多 步就可以找到规律例2(抽屉原理)3个苹果放进2个抽屉中,至少有1个抽屉中有两个苹果。(反证法易得)10本书,共3类(抽屉),文学类(A)、史学类(B)和数学类(C),证明至少有一类有4本或4本以上。10本书,共3类(抽屉),文学类(x)、史学类(y)和数学类(z),证明x,y,z
2、至少有一个大于或等于4。抽象为一个纯数学问题:, ,10,4,4,4.x y zxyzxyz假设是非负整数,且则或或或此即为不定方程的非负解的下界估计问题.假设人类的头发最多为200万根,那么长春市至少有2人的头发根数一样多。(长春市人口超过200万)作业:在任意6人中,一定可以找到3个相互认识,或3个相互不认识的人。RMI:R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它属于形式逻辑范畴。如“三段式”给人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思想的方法。例111101134422 22 1024204822228 16 168 2562048 显得容易。
3、例21112?等于多少11110.3010,lg2lg20.02731111很难 但是11:21.065.从反对数表得到lg1lg0 xxxx运算数值曲折:化难为易曲折:创造、发明曲折:实现的根据是对数Galileo:给我空间、时间和对数,我即可创造一个宇宙。RMI的体现:R:21/11 ,M:lgx ,I:10lgx例3: 求和11111(1)35721nyn35721( )(1)35721nnxxxxy xxnRM,逐项微分246221( )1(1)1nnyxxxxxx201( )arctan ,(1).14xy xdxx yyxI,积分数学上互逆的运算很多:如0的作用是+项与-项;1的作
4、用是乘项与除项. 抽象=枯燥乏味?语言学抽象吗? 美、神、好文学抽象吗?诗歌艺术抽象吗?绘画、舞蹈音乐抽象吗?高山流水、悲欢离和数学的抽象美的表现形式不同,它给人带来的是简洁、明快和高效的美例1(七桥问题)如图,能否从某个桥出发,走过所有的桥,但每座桥只经过一次?ABCD? ?BACDBACD24213313335点线图拓扑学topology:不注重数量关系和形状特征,而注重点与点的连接方式!如:建立校园网络系统。从网络中心到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼,到各办公室、教室和寝室。你任何设计呢?你需要建立一个网络的拓扑图即可。实际上如果两个图的点与连接方式一致,它们实际上就是拓扑意义下的一张图。拓扑学的产生与发展进一步表现了数学的抽象程度,起抽象的美与实际是如此的协调,展示了数学的优美! 拓扑学的产生极大冲击了直观性原则! 1 人的认知能力(直观,抽象飞跃) 2 直观与抽象在认识上的统一受年龄和知识的接受方式的限制. 3 直观可能造成错觉. 思辩的作用越来越大.直观具有较大的局限性. 物理学、化学、生物学等学科中许多重大发现和突破是有想象力开导的。 善于抽象不仅只限于数学,人文科学、社会科学,更越来越抽象,只不过给人的感觉不象数学强烈而已。