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1、数学模型与数学建模主要内容n1.什么是数学模型？ 1.1基本概念 1.2特点和分类n2.如何数学建模？ 2.1方法和步骤 2.2示例n3.为什么数学建模？ 3.1现实意义 3.2个人收获21.什么是数学模型？n数学n模型n数学模型3自然离不开数学1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格 3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形 4问题/应用来自数学的贡献核磁共振成像技术(MRI)计算机辅助成像(CAT)积分几何空中交通管制控制论期权定价Black-Scholes期权模型和Monte Carlo模拟全局勘察、信号处理、图
2、象处理、数据采掘应急用储备物资的管理运筹学、最优化理论复杂网络的稳定性逻辑、计算机科学、组合学机密和完整性数论、密码学/组合学大气和海洋的建模小波、统计学、数值分析敏捷制造、自动制造、可视化、机器人过程质量控制中的几何学、控制论设计和训练模拟、建模、离散数学人类基因组分析数据采掘、模式识别、算法合理的药物设计数据采掘、组合学、统计学Seiberg- Witten方程(弦论)几何学宇宙数据的解释数据采掘、建模、奇点理论复合材料的设计系统控制论、计算、偏微分方程地震的分析和预测过程控制中的统计学动力系统/湍流建模社会离不开数学5 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁
3、，数学无处不在，凡是有“量量”和和“形形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。著名数学家 华罗庚 任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。马克思教导我们：一门学科只有成功地运用数学运用数学时，才算达到了完善的地步！6玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型我们常见的模型我们常见的模型7玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片
4、、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型我们常见的模型我们常见的模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型8玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的抽象、提炼出来的原型原型的替代物，集中反映了的替代物，集中反映了原型原型中中人们需
5、要的那一部分特征。人们需要的那一部分特征。我们常见的模型我们常见的模型9模型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型物理模型思维模型符号模型数学模型模型的分类10 “1”是最简单的数学模型。是最简单的数学模型。 那些我们所熟知的数学模型 设水池的总容量为设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时。两台抽水机同时工作所需要时间为间为 例例 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。
6、现在由两台小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？4 . 261411（小时）（小时） 11弧度制是对角大小的另一种度量弧度制是对角大小的另一种度量方式，弧度制的基本原理与平面方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。相似形有关。AABBO1扇形扇形AOB相似于扇形相似于扇形BOA OAAOABBA因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。 OAABAOBA比如，当扇形的弧长与半径之比为比如，当扇形的弧长与半径之比为2时，对应的圆心角是直角；时，对应的圆心角是直角；时，对应的圆心角是平
7、角（扇形刚好是半圆）时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）. 当扇形的弧长与半径之比为当扇形的弧长与半径之比为弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（名数）。面再加量纲（名数）。 引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数学模型恰是关于几何图形的数学模型。12方程是表现等量关系的数学模型方程是表现等量关系的数学模型 31 10 x“ ”那些我们所熟知的数学模型例例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何
8、。块。问大马、小马、马仔各几何。解解 设大马，小马，马仔分别为设大马，小马，马仔分别为1001321002xyzxyz5(20)32(100)3yxzx匹，应有匹，应有分别消去分别消去 和和 可得可得, ,x y zzy这是一个不完全方程组的求整数解问题这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。丢番图问题。13 “点点”、“面面”、“线线”抽象化的数学模型抽象化的数学模型那些我们所熟知的数学模型1726年，瑞士数学家欧拉（年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯年秋天，
9、欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。教的是下面一个问题。 布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。们三三两两地散步于小岛上与河岸边。 有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通有人突发奇想，能不能
10、在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？过一次呢？哥尼斯堡七桥哥尼斯堡七桥问题问题14店主桥店主桥铁匠桥铁匠桥木桥木桥绿桥绿桥“馋嘴馋嘴”吉布莱茨桥吉布莱茨桥高桥高桥蜜桥蜜桥内福夫岛内福夫岛普雷盖尔河普雷盖尔河新河道新河道旧河道旧河道哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。 15CDBA作为一笔画作为一笔画过程过程，应该只有一个起点和一个终点，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是并且起点和终点应该是奇节点，奇节
11、点，而其它点而其它点都是都是通过点通过点，并只能是偶节点，并只能是偶节点欧拉在草纸上勾画出示意图。在他欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。各个小桥代之以线。现在的问题是，能否用一只铅笔从现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现之中的某一点开始，不抬笔地连续描
12、完每一条线而不出现线路重复呢？线路重复呢？ 类似这样的问题，后来被统称为类似这样的问题，后来被统称为“一笔画一笔画”问题。问题。 图中四个节点图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。的一笔画问题。 16什么是数学模型、数学建模n 一般地说，数学模型数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象特定对象，为了一个特定目的特定目的，根据特有的内在规律内在规律，做出一些必要的简化假设简化假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学模型数学模型数学建模数学建模建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、
13、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）17对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中所用的数建模中所用的数学方法学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的实际范畴范畴人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型 、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、 基因模型等基因模型等182.如何数学建
14、模？19你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解求解20航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出必要的简化假设（船速、水速为常数）；作出必要的简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表
15、示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）；小时）；21 验证上述结果（用实际现象进行验证）验证上述结果（用实际现象进行验证）。几个数学建模示例22例例1 1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只
16、脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，任何方向都不会出现地面高度连续变化，任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面间断，即地面可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。23 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来只脚着地的关系表示出来模型构成模型构成24用数学语言把椅子位置和四用数学语言把椅子位置和四
