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1、4.5.3函数模型的应用（二）池州一中祖向阳一、内容和内容解析L内容教科书例5和例6,选择函数建立函数模型解决实际问题.2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.本节课是函数模型的应用的第2课时，是在第1课时（用函数模型解决实际问题）的基础上，进一步由已知条件建立函数模型解决实际问题，结合例5的投资回报问题和例6的选择奖励问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并以此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律.本节课的学习，既是指数数函数的综合应用，也可以让学生体会建立数
2、学模型解决实际问题的一般过程，为后续要学习的数学建模打下基础.在此过程中，激发用数学的思维思考世界，数学的语言表达世界，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养.3.教学重点选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程.二、目标和目标解析L目标能将具体的问题转化为数学问题，能通过分析函数图象及表格数据了解指数函数、对数函数、线性函数的变化差异，从而选择合适的函数模型解决实际问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）明确例5中的数量关系，指出每个方案的函数模型，为将实际问题转化为数学问题，如何选择函数模型作准备；（2）根据例5和例6中的条件出发
3、，结合“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选出合适的函数模型；（3）通过例5和例6的分析，了解在选择合适的函数模型解决实际问题中，需围绕着“怎样的数学问题”,“选怎样的函数模型”,“为什么选这样的函数模型”，“怎样解答实际问题”，提升学生的数学抽象和数学建模素养.三、教学问题诊断分析L问题诊断在函数模型的应用（）中，学生已经学习了用函数模型解决实际问题，初步了解了一般步骤：将实际问题转化为数学问题一求解数学问题一再由数学问题回到实际问题.这为本节课的学习打下基础，但是在面对本节较为复杂的问题时,如何将其转化为数学问题，尤其是如何选用函数类型构建数学
4、模型，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识.教学时可以从以下两个方面入手帮助学生克服困难：一是从实际问题中抽象出等量（不等量）关系，从而将实际问题转化数学问题；二是从数（数据的处理）和形（函数的图象）两个角度来定量和定性地分析实际问题的变化规律，从而选择函数模型.2.教学难点如何选用合适的函数类型建立数学模型，分析和解决实际问题.四、教学支持条件分析为帮助学生数克服如何选用合适的函数类型建立数学模型，并利用所得到的函数模型解决实际问题的困难，教学时可充分利用信息技术的计算、列表、画图等功能，处理实际数据、便捷地求解，让学生将主要精力投入到定性
5、和定量地分析问题上.五、教学过程设计环节一复习回顾，做好铺垫问题：指数函数y=(l),对数函数y=kMl)与线性函数y=H+欣0),其增长速度的快慢分别是怎样的？师生活动：学生给出作答；教师再引导学生给出数学语言表达，一定存在一个当xx0时，恒有/+rlog.【设计意图】从具体的函数类型复习“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”的含义，并要求学生用数学的语言表述其关系，为后续的定性和定量的分析做好铺垫.环节二例题分析，了解步骤例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一
6、天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？追问1：这是怎样的一个数学问题？如何处理？师生活动：本质上是不同的函数类型增长差异问题.方案一：每天的回报金额是常函数；方案二：每天的回报金额是呈线性增长；方案三：每天的回报金额呈指数增长.不难发现长期投资，应选择方案三，但投资天数较短时，又该如何分析？引导学生定量和定性的分析，列表和画图，从而数形结合分析出投资回报方案问题.无论怎样分析，都需要先确定函数关系.追问2：各个方案中的函数对应关系是什么？师生活动：方案一：第X(XeN*)为天的回报额为y=40;方案二：第X(XeN*)为天的回报额为y=10x；第X(XeN*
7、)为天的回报额为y=0.42x).追问3：借助信息技术的计算工具和作图工具，得下列表格和图象，分别从数和形两个方向确定投资的方案，这样选择是否可行？师生活动：学生借助计算工具计算得下列表格：X方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010将表格中的数据绘制成点，并用光滑的曲线
8、顺次连接，可得每天的回报金额图:每天的回报金额图结合列表的定量计算和作图的定性分析，学生不难发现：从每天所得到的回报金额来看，在第1,2,3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5,6,7,8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天时，所得到的回报已超过2亿元了.追问4：长期来看，我们选择方案三，但是对于短期来看，我们利用每天的回报金额作为决策依据判断投资方案是否可行？师生活动：引导学生利用累计的回报金额作为判断依据，可将每天的回报金额汇总形成下面的列表：X方案一方案二方案三y累计回报/元y累计回报/元y累计回报/元140401010
9、0.40.42408020300.81.234012030601.62.8440160401003.26540200501506.412.46402406021012.825.27402807028025.650.88403208036051.210294036090450102.4204.41040400100550204.8409.21140440110660409.6818.8结合列表的定量计算的分析,学生不难发现:投资16天,应该选择方案一；投资7天，应该选择方案一或方案二；投资810天，应该选择方案二；投资11天及以上的，应该选择方案三.如果我们将表格中的数据绘制成点，并用光滑的曲线
10、顺次连接，可得累计的回报金额图：累计的回报金额图从累计的回报金额图中不难发现有相同的投资结论，甚至我们拉长投资周期,可得下列累计的回报金额图：累计的回报金额图拉长投资周期后，其累计的回报金额会加速增长，显现了指数爆炸的特点.【设计意图】通过分析和解决实际问题，感受不同函数的增长差异，进一步理解用函数模型刻画和解释实际问题.追问1,帮助学生将实际问题转化为数学问题，初步认识随着时间的推移，方案三的优越性；追问2,确定各个方案的函数关系式，为后续的定量和定性分析做好准备；追问3,从列表的定量计算和作函数图象定性分析两个方向分别得出每天的回报金额的一个情况；追问4,引导学生从累计的回报金额来确定短期
11、投资方案.例6.某公司为了实现IOOO万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7xl,y=l002其中哪个模型能符合公司的要求？追问1：这是怎样的一个数学问题？与例5有着怎样的差别？师生活动：本质上还是不同的函数类型增长差异问题.由于例5中的投资天数x（xN）是没有上限的，例6中的销售利润X（单位：万元）是有上限的，即10x1000,且函数的值域也有上限的，即0y5,而且还需满
12、足限制条件：y0.25x.追问2：类比例5,如何处理这个数学问题？是先从列表的定量计算去分析,还是先作函数图象的定性分析再计算验证？师生活动:考虑数据的繁杂性,我们省略列表计算,借助信息技术直接画图,从形的角度先行排除个别函数模型，而后在从数的角度定量计算一一验证.师生作函数图象如下：选择奖励问题图由图象不难发现函数模型），=0.25元）=1.0021在定义域内均有部分图象在直线），=5的上方，我们在通过计算确认.对于函数模型y=0.25x,当x=20时，y=5,因此当x20时，y5,所以该函数模型不符合要求；对于函数模型y=l002,放大函数y=1.002与直线y=5的交点附近处的图象，如下
13、：804804.5 805 805.5 806 806.5 807 807.55.0255.025.0155.015.00554.9954.994.9854.98803.5不难发现，在区间(805,806)内有一个点与满足1.002%=5,下严谨地说明：构造函数/(x)=LOO2-5,借助计算工具得/(805)=-0.0040,由零点存在定理即证明了形的结论.因此，当x/时，y5,所以该函数模型不符合要求；对于函数模型y=log7r+l,当X=IooO时，y=log71000+l4.555,结合单调性得它符合奖金总数不超过5万元的要求.那么，对于限制条件：y0,25x,我们先从形的角度可放大函
14、数y=k)g7%+l与直线y=0.25x的交点附近处的图象，如下:不难发现，在区间(8,9)内有一个点与满足147%+1=。-25瓦，在结合整体图象，可得当10x1000时，y=log7x+l0.25x,如何证明？引导学生作差分析：将y=log+l与y=025x作差，再画函数图象处理，令由图象发现函数f(x)在定义域内恒单调减，所以/(x)/(10)-0.31670,因此当10x1000时，log7x+l0.25x.综上，当10x1000,在限制条件：0y5和yS25x下，只有函数模型y=bg+l满足.即函数模型y=bg7x+l符合奖金总数不超过5万元和奖金不会超过利润的25%的这两个要求.【设计意图】再次感受不同函数的增长差异，进一步理解用函数模型刻画和解释实际问题.追问1,再次帮助学生将实际问题转化为数学问题，初步了解自变量的限制，无法感知哪个函数模型更佳，需进一步分析；追问2,引导学生先作函数图象定性分析，在通过计算定量确定，从而锁定选择奖励的函数模型
