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1、n次独立重复试验与二项分布一、条件概率及其性质1 .条件概率的定义设A、B为两个事件，且P(A)O,称P(BlA)=驾图为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(4)2 .条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(BIA)=雪图.(A)3 .条件概率的性质(1)条件概率具有一般概率的性质，即OWP(BlA)WL(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(BUClA)=P(BA)+P(CA).二、事件的相互独立性1 .设A、B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.2 .如果事件A与B相互独立，那么A与8,A与B,A与3
2、也都相互独立.三、二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=CjpYp)i(k=0,l,2,，n).此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p),并称P为成功概率.例1:甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()3 231AqB.1C.D2解：甲获胜分为以下两种情况：第一种情况，第一局甲赢，其概率Pl第二种情况，需比赛2局，第一III3局甲负，第二局甲赢，其概率22=/及=/故甲队获
3、得冠军的概率为P+P2=本4cbd例2,某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为与那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()a,125解：P=C磕2(I=覆例3：在100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到次品后，第二次再次取到次品的概率为()5454a99b99cToTdToT解：设A=第一次取到不合格品,8=第二次取到不合格品,则P(A3)=悬，P(A)=品，仍M=需32例4：甲射击命中目标的概率为京乙射击命中目标的概率为不当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为.mC31l12l3211解：f=4x34x3+4x3=T2例5：两个实习生每
4、人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为野哈两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为.2解：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件8：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)=IP(B)323=不所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(4B)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=x(l-RI八2、35+1-3)X4=12-“相互独立”与“事件互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指个事件发生与否对另事件发生的概率没有影响.两事件相互独立不一定互斥.例6：从1,2,345中任取2个不同的数，事件A=取到的2个数之和为偶数
5、”，事件8=”取到的2个数均为偶数”，则P(用4)=()a84c5d,2解：P(A)=得=|，P(An8)=段=*由条件概率公式得尸(BIA)=借例7:市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是()A.0.665B.0.56C.0.24D.0.285解：记A=“甲厂产品，B=“合格产品”，则P(A)=O.7,P(BA)=0.95,P(AB)=P(A)P(BA)=0.70.95=0.665.例8:某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，己知开关第一次闭合后出现红灯的概率是看两次闭合都出现
6、红灯的概率底.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为解：“第一次闭合后出现红灯”记为事件A,“第二次闭合后出现红灯.”记为事件8,则P(A)=3P(AB)=.161一)(BIA)=例%如图，用K、A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当一K正常工作且Al、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.己匚口知K、AkA2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576解：可知K、AhA2三类元件正常工作相互独立,所以当Ai、A2至少有一个能正常工作的概率为P=I-(1-0.8)2=0.96.所以系统能正常工
7、作的概率为PKP=0.9x0.96=0.864.例10:甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人同时被录取的概率为042,两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88解：P=06x0.3+0.4x0.7+0.42=0.88.例Ih设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机
8、器需要照顾的概率.解：记“机器甲需要照顾“为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A、B、C是相互独立事件.由已知得P(AB)=P(A)P(B)=0.05,P(AC)=P(A)P(C)=OJ,P(BC)=P(B)P(C)=O.125.解得P(A)=O.2,P(B)=0.25,P(C)=O.5.所甲、乙、丙每台机学需要照啰的概率分另作0.2、0.25、0.5.(2)记A的对立事件为K,B的对立事科学瓦C的对立建件为则P(N)=O.8,P(Z)=O.75,P(C)=0.5,于是P(A+5+C)=l-P(瓦E)=LP(N)
9、P(X)/(e)=07所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.例12：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I)P(A)=O.5,P(B)=O.3,C=A
10、+B,P(C)=P(A+8)=P(A)+P(B)=08(2)O=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,X8(100,0.2),即X服从二项分布，所以期望E(X)=IoOXo.2=20.例13：位于直角坐标原点的个质点P按下列规则移动：质点每次移动-个单位，移动的方向向左或向右,I2并且向左移动的概率为:，向右移动的概率为多则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是()a243解：依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于=皓.例14,如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自
11、上而下第一行有1个隙碍物，第二行有2个障碍物依次类推.一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，己知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是记小球遇到第行第w个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(，.(1)求P(4,l),P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表达式(不必证明)；4%,lr3,(2)已知心)=/设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶%33x6,点时，得到的分数为J=(m),试求E的分布列及数学期望.解：(1)P(4,I)=C*)3=/,P(4,2)=Ci()3=,猜想P(，M=C仁J=(%I(2%=3,2,1,P=3)=P(6,1)+
12、P(6,6)=,P=2)=P(6,2)+P(6,5)=Ci5P(=1)=P(6,3)P(6,4)=321P11651658=376+216+18=161 .判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生.2 .判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)是否为n次独立重复试验.(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.例15：某射手每次射击击中目标的概率是余且各次射击的结果互不影响.假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标
13、的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记&为射手射击3次后的总的分数，求&的分布列.解：(1)设X为射手在5次射击中目标的次数，则X8(5,|).在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X=2)=Cgx(务(l|)3=第设“第，次射击击中目标”为事件Ai(i=1,234,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未211O1击中目标”为事件4,则P()=P(12A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A12/MMs)=(1)3()2+IXq)3g+23=(3)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6,Pe=O)=P(XA24)=(；/=，一一一一一一21121122Pe=I)=P(AIA2A3)+A2A3)+P(AA23)=3(3)2333卬”手=亨Pu=2)=P(Al4A3)=,P(=3)=P(AA2A)+P(A2A3)=()2228P(=6)=P(AA2A3)=(3)2=27所以的分布列是01236P12729427827827
