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1、 第十章复习课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲面积分曲面积分( , )dDf x y 定积分定积分:.),(lim10iiniif 二重积分二重积分: :三重积分三重积分: :( )dbaf xx iinixf )(lim10 ( , , )d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 设设 是是平平面面或或空空间间的的一一个个可可度度量量的的几几何何
2、体体，f为为定定义义在在 上上的的函函数数, ,T对对 作作分分割割1maxd( )ii n 称称 ,in 它它把把 分分成成 个个可可度度量量的的小小几几何何体体T为为分分割割 的的细细度度, ,iiP 且且在在上上任任取取一一点点01lim( ),niiif PJ 极极限限若若有有iJTP且且 的的值值与与分分割割 及及介介点点 的的取取法法无无关关, ,.fJf则则称称 在在 上上可可积积极极限限 为为 在在上上的的积积分分. .01lim( )( )dniiif PF P 记记作作： x当当 是是 轴轴上上的的时时, ,上上式式就就直直线线段段是是定定积积分分; ;01lim( )ni
3、iifx ( )d ;baf xx 当当 是是时时, ,上上式式就就是是二二平平面面区区域域重重积积分分；01lim( ,)niiiif ( , )d ;Df x y 当当 是是时时, ,上上式式就就是是三三空空间间区区域域重重积积分分；01lim( ,)niiiiifV ( , , )df x y z v 平平面面曲曲线线或或当当 为为空空间间曲曲线线时时，第第一一型型（对对弧弧长长的的）上上式式为为曲曲线线积积分分；01lim( )( )dniiif PF P 空空间间当当 为为曲曲面面时时，第第一一型型（对对面面积积的的）上上式式为为曲曲面面积积分分；（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线
4、积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用（三）格林公式及其应用 一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法（四）线积分的应用（四）线积分的应用（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质（1）定义）定义设设xoy面上的连续曲线面上的连续曲线L是是分段光滑分段光滑的，的，且有且有有限长度，有限长度，函数函数z=f(x,y)在在L上上有界，有界， 在曲线在曲线L上依次上依次插入分点插入分点nMMM,100(M及及nM为为L的两个端点的两个端点),把把L分成分成n个小弧段个小弧段，iiMM1 记小弧段记小弧段iiMM1 的长度的长度为为,is ,
5、max1nss 并在并在iiMM1 上任取一点上任取一点).,(iiiN 如果如果极限极限iiinisf ),(lim10 存在，存在，oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis iiinisf ),(lim10 存在，存在，如果如果极限极限则称则称此极限此极限为为函数函数f(x,y)在平面曲线在平面曲线L上对弧长的上对弧长的曲线积分，曲线积分，记作记作.d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 积分变量积分变量积分弧段积分弧段被积表达式被积表达式弧长元素弧长元素积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量 ( , )d .LMx ys 也
6、称第一类曲线积分也称第一类曲线积分.注意：注意： (1)曲线积分曲线积分也是一个也是一个确定的常数，确定的常数，它只与被积函它只与被积函数数f(x,y)及积分弧段及积分弧段L有关有关.d),( Lsyxf(2) f(x,y)在在闭曲线闭曲线L上对弧长的曲线积分记为上对弧长的曲线积分记为.d),(d),(d),(2121 LLLLsyxfsyxfsyxf(3)若若L分段光滑的分段光滑的)(21LLL 则有则有(4)存在条件：存在条件：当当f(x,y)在在光滑曲线弧光滑曲线弧L上上连续连续时，时， Lsyxfd),(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分存在存在.(5)物理意义：物理意义：( , )dL
7、Mx y s 是是线密度在线密度在L上的线积分上的线积分.d),( LsyxfA柱柱面面面面积积(6)几何意义：几何意义：即：高在底即：高在底L上的线积分上的线积分.(7)推广推广:函数函数f(x,y,z)在空间曲线弧在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为 szyxfd),(01lim( ,).niiiiifs .d Lls特别地：特别地：,d abxba ,d D .d Vv 联想：联想：),(yxfz zxoyALABab Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 （2）性质）性质 (1) ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x
8、ysf x y sg x y s (2)( , )d( , )d().LLkf x y skf x y sk 是是常常数数12 (3)( , )d( , )d( , )d .LLLf x y sf x y sf x y s 12().LLL (4)无向性：无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即即( , )d( , )dABBAf x y sf x y s 思考思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.回忆定积
9、分：回忆定积分： ( )d( )dbaabf x xf x x 故第一类曲线积分与定积分是有区别的故第一类曲线积分与定积分是有区别的.（1）定义定义设设L为为xoy面上从点面上从点A到点到点B的一条的一条分段光滑分段光滑的的有有向曲线，向曲线， 函数函数),(),(yxQyxP、在在L上上有界有界. 沿沿L的方向的方向依次依次取分点取分点,10BMMMAn 把把L分成分成n个个有向小弧段有向小弧段iiMM1 ，), 2 , 1(ni 设设iiMM1 , jyixii 并记并记 为所有为所有小弧段长度的最大值小弧段长度的最大值. 在在iiMM1 上任意取一点上任意取一点),(ii 如果极限如果极
10、限iiniixP ),(lim10 存在，存在，那么这个那么这个极限极限称为称为函数函数),(yxP在有向弧段在有向弧段L上上对坐标对坐标x的曲线积分，的曲线积分，记作记作.d ),( xyxPL 类似地，类似地， 如果极限如果极限iiniiyQ ),(lim10 存在，存在，那么那么这个这个极限极限称为函数称为函数),(yxQ在有向弧段在有向弧段L上对上对坐标坐标 y记作记作.d ),( yyxQL 的曲线积分，的曲线积分，即即 xyxPLd ),( ，iiniixP ),(lim10 yyxQLd ),( iiniiyQ ),(lim10 其中其中),(),(yxQyxP、称为称为被积函数
11、，被积函数，yyxQxyxPd),(d),(、称为称为被积表达式，被积表达式，(1) L称为称为积分路径积分路径.说明：说明：(2)与与第一类曲线积分第一类曲线积分记号的区别记号的区别.iiyx ,可正可负可正可负.这里的这里的(3)组合形式组合形式( , )d( , )dLLP x y xQ x y y Wddd.rxiyj 由实例和定义知由实例和定义知:变力变力 沿沿A B所作的功为：所作的功为：F( , )d( , )dABP x yxQ x yy dABFr LyyxQxyxPd),(d),(4)特殊路径情况特殊路径情况,bax由由,ba L若若则则 LLyyxQxyxPd),(d),
12、( , )( , )FP x y iQ x y j 为为向向量量值值函函数数， 记作记作01lim(,)niiiiPx 01lim(,)niiiiQy ( ,0)d0baP xx ( ,0)d .baP xx . ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW cosWFAB .F AB ix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ),(),(yxQyxP当当在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上连续连续时，时，第二类曲线积分第二类曲线积分 存在存在. LyyxQxyxPd),(d),(.),(limd),(10 iiiniixPxzyxP ( , , )d( ,
13、 , )d( , , )dP x y zx Q x y zyR x y zz .),(limd),(10 iiiniiyQyzyxQ .),(limd),(10 iiiniizRzzyxR 空间有向曲线弧空间有向曲线弧对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质 1()性性质质 线线性性性性质质, 设设 、 是是常常数数 则则12 ( , )( , ) dLF x yF x yr 12 ( , ) d( , ) d .LLF x yrF x yr 性性质质2 2( (可可加加性性) )L如如果果有有向向曲曲线线弧弧 可可分分成成两两段段光光滑滑的的有有12,LL向向曲曲线线弧弧 和和则则12
14、( , ) d( , ) d( , ) d .LLLF x yrF x yrF x yr 性性质质3 3( (有有向向性性) )LLL 设设 是是有有向向光光滑滑曲曲线线弧弧, , 是是 的的反反曲曲线线弧弧，则则 ( ,) d( ,) d .LLF x yrF x yr 即即对坐标的曲线积分与曲线的对坐标的曲线积分与曲线的方向方向有关有关. abbaxxfxxf d)(d)(回忆定积分：回忆定积分： ( , ), ( , )d(d ,d ),( , )d( , )ddLLLFP x y Q x yrxyP x yxQ x yyFr 有有线线曲曲线线元元故定积分是第二类曲线积分的特例故定积分是
15、第二类曲线积分的特例. .( , )d( , )dLP x y x Q x y y 01lim( ,)niiiiPx 01lim( , )niiiiQy 性性质质4 4 dABxLx 在在 轴轴上上的的投投影影( (可可正正可可负负) ) dAByLy 在在 轴轴上上的的投投影影( (可可正正可可负负) ) ( , )dLP x y x 01lim(,)niiiiPx ( , )dLQx y y 01lim( ,)niiiiQy 性性质质5 5( (垂垂直直性性) )( ,)0Lxx yx L L若若轴轴P Pd d( ,)0LyQ x yy L L若若轴轴d dix iy ),(yxFoxy
16、LBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF BAxx = =BAyy = =例例1. ,1f x y 设曲线设曲线L：过第二象限内的点过第二象限内的点M和第四象限内的点和第四象限内的点N， 为为L上上 d,fx yy （B） d,f x y s （C） ,d,dxyfx yxfx yy （D） ,fx y（具有一阶连续偏导数）具有一阶连续偏导数）, ,df x yx （A）则下列小于零的是（则下列小于零的是（ ）从点从点M到点到点N的一段弧，的一段弧， oxy MNB（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法基本思路基本思路:计算定积分转 化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法计算第一类曲线积分的基本方法)( 01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 1. :( ),( ) L xtytt 22 ( , )d ( ), ( )( )( )d Lf x ysfttttt 2. :( ) L yxaxb 2 ( , )d , ( ) 1( )dbLaf x ysf xxxx )(ba 3. :( ) L xycyd 2 ( , )d ( ), 1( )dd
