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1、考试范围和参考书籍一、分析学“主要考察研究生的大分析”基础。内容涉及实分析，复分析和泛函分析基本概念和方法。实分析知识点：集合及其运算。欧氏空间上的拓扑：开集，闭集，紧性（包括Heine-Borel定理），连续性（包括一直连续性），一致收敛，ArzeIa-ASCOli定理。Lebesgue测度：可测集与可测函数，外测度，LebeSgUe测度的构造，Lusin定理，函数列的收敛性（几乎处处/点态收敛，依测度收敛，近一致收敛），Egorov定理，Riesz定理。LebeSgUe积分理论：Lebesgue积分定义，LebeSgUe积分与分布函数关系；FatOU引理以及控制收敛定理；依积分意义收敛，几
2、乎处处收敛以及依测度收敛之间的关系，Lebesgue微分定理，绝对连续函数和有界变差函数。抽象测度论和积分论（包括Radon测度和有关C（X）上正线性泛函的RieSZ表示定理）（研究生内容）。Lp空间：Jensen不等式，Hoelder不等式，Minkowski不等式。Fourier分析：欧氏空间Rn以及圆环Sl上的Fourier变换;Riemann-Lebesgue引理；PlanCherel定理；Sl上的Fourier变换的ParSeVal不等式；反演公式；卷积；HaUSdOrff-YOUng不等式。实分析参考书籍：周民强，实变函数论第三版，北京大学出版社。G.B.Folland,RealA
3、nalysis:MordernTechniquesandtheirApplications,Secondedition.PureandAppliedMathematics(NewYork).AWiley-IntersciencePublication.JohnWiIey&Sons,InC.,NewYork,1999.复分析知识点：解析函数：届级数，收敛半径，Cauchy-Riemann方程，Liouville定理，CaUChy估计，一致极限，零点的离散性，CaUChy积分公式。半纯函数：RienIann可去奇点定理，极点，LaUrent级数，留数公式。全纯函数的局部性质：幅角原理，全纯函数的零
4、点，Rouche定理，HUnVitZ定理，极大模原理，开映射定理。共形映射：Rienlann球面，分式线性变换，共形映射，RienIann映射定理，解析延拓。(平面上的)调和函数：Poisson积分公式，亚调和函数，Dirichlet问题。复分析参考书籍：L.Ahlfors,ComplexAnalysis,McGraw-Hill1979.L.Ahlfors,ConformalInvariants,McGraw-Hill1973.Stein,EliasM.;Shakarchi,RamiComplexanalysis.PrincetonLecturesinAnalysis,2.PrincetonU
5、niversityPress,Princeton,NJ,2003.泛函分析知识点：度量空间：完备性；可分性；Baire纲定理；紧性，HaUSdorff定理，ArZela-ASCoIi定理;BanaCh压缩映射原理。拓扑线性空间：Minkowski泛函；赋范线性空间,Banach空间;RieSZ（几何）引理，有限维赋范线性空间的刻画；内积空间，Hilbert空间，CaUChy-SChWarZ不等式，极化恒等式，平行四边形公式；最佳逼近，正交分解，规范正交系，Bessel不等式，ParSeVal恒等式，Schmidt正交化。线性算子理论：有界性、连续性、闭线性算子；开映射定理（逆算子定理，等价范数
6、定理，闭图像定理），一致有界原理（共鸣定理），强收敛；线性泛函，Hahn-BanaCh定理（凸集分离定理），对偶空间，伴随算子,弱收敛、弱*收敛，弱序列紧（Eberlein-SmUIian定理）；紧算子，Riesz-Fredholm理论。Hilbert空间算子理论：Riesz表示定理，LaX-MilgranI定理，伴随算子，自伴算子，正算子。谱理论基础：有界线性算子的谱，预解式，谱半径；紧算子的谱理论（Riesz-Schauder）；紧自伴算子的谱分解定理（Hilbert-Schmidt）；自伴算子的谱分解定理。泛函分析参考书籍：张恭庆、林源渠编著，泛函分析讲义（第二版，上）,北京大学出版社,
7、202Io王声望、郑维行编，实变函数与泛函分析概要（第5版）第2册，高等教育出版社，2019。HaimBrezis,FunctionalAnalysis,SobolevSpacesandPartialDifferentialEquations,2011.二、代数学代数学知识点：集合论与范畴:集合的基数、集合上的序和偏序，Zorn引理，范畴的定义和实例，函子，自然变换，忘却函子。线性代数：线性空间基的存在性，线性算子与矩阵的对应，正交性，矩阵的对角化，Cayley-HaIniltOn定理，旋转与反射，谱定理，Jordan标准型。群论：半群和群的定义、子群和陪集分解（拉格朗日定理）、循环群、正规子
8、群和商群、群同态基本定理、置换群、单群、群在集合上的作用、轨道、SyIoW定理、群的可解性、有限生成阿贝尔群结构定理，小阶群的结构，特殊典型群，有限群的表示，特征标理论。环论：环的定义，例子和性质，矩阵环，理想商环，同态（同构）基本定理，素理想和极大理想，中国剩余定理，唯一分解整环，主理想整环，欧氏整环，素元和不可约元，局部环，Artin环，Noether环，Hilbert基定理,多项式环，欧氏算法，高斯引理和EiSenStein判别法。模论：模的定义，子模和商模，模同态/同构，直和与直积，自由模，有限生成模，主理想整环上的有限生成模的结构定理，正合列，短五引理，可裂正合列，模的张量积，张量代
9、数，张量函子，Hom-函子。域与GaloiS理论：代数基本定理、代数闭域、域的扩张、代数扩张与超越扩张，有限域及其分类、GalOiS扩张和GaloiS群、分裂域，可分扩张、正规扩张、根扩张，伽罗瓦基本定理，代数方程根式可解的判定。代数学参考书籍：TWHungerford,Algebra,SpringerGraduateTextsinMathVS.S.H.Friedberg,A.J.InselandL.E.Spence,LinearAlgebra,(FourthEdition).MichaelArtin,Algebra,(SecondEdition).三、几何与拓扑几何与拓扑知识点：微分流形：光
10、滑映射，切空间，浸入与嵌入子流形，Frobenius定理，张量场，外微分，StokeS公式、deRham上同调，向量丛的定义。黎曼几何：向量丛上的联络，Levi-Civita联络，黎曼曲率张量，散度定理，HOdge定理，子流形的结构方程，弧长第一、第二变分公式，Jacobi场，比较定理。拓扑学：连续映射，拓扑空间的紧性与连通性，曲面的分类，VanKanIPen定理，基本群，覆盖空间，MV序列，同调切除定理，胞腔复形，上同调，万有系数定理，PoinCare对偶。几何与拓扑参考书籍：黎曼几何初步白正国，沈一兵等，浙江大学出版社。微分几何讲义陈省身，陈维桓，北京大学出版社。RiemannianGeo
11、metryandGeometricAnalysisJost,Springer.拓扑学MUnkreS,机械工业出版社。基础拓扑学Armstrong,北京大学出版社。AlgebraictopologyHatcherjCambridgeUniversityPress.四、微分方程微分方程主要考察偏微分方程和常微分方程的基本概念和方法。偏微分方程知识点：一阶偏微分方程的特征线法求解。调和函数及其性质，位势方程的基本解和Green函数，以及边值问题的求解。热方程和波动方程初值问题和初边值问题的求解，解的存在唯一性，以及解的基本性质。极值原理与最大模估计，能量模估计。Sobolev空间及其性质。椭圆方程S
12、chauder估计的结论及应用，LP估计（Calderon-Zygmund理论）的结论及应用。波动方程：线性波动方程的基本解，线性波的衰减估计，渐近行为（Friedlanderradiationfield）,Klainerman-Sobolev不等式，整体光滑性估计（StriChartZ估计），（变系数）波动方程解的适定性。偏微分方程参考书籍：周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。姜礼尚等，数学物理方程，高等教育出版社。陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社。L.Evans,PartialDifferentialateStudiesinMathematics,vol.19,Am
13、ericanMathematicalSociety9Providence.D.Gilbarg,N.S.Trudinger,EllipticPartialDifferentialEquationsofSecondOrder(PartILinearequations)9Springer.C.D.Sogge,LecturesonNon-LinearWaveEquations(SecondEdition),InternationalPress,2008.方道元，非线性波动方程，浙江大学出版社，2008oSergeAlinhac,HyperbolicPartialDifferentialEquation
14、s9Springer,2009o常微分方程知识点：一阶方程的初等积分法：线性方程，变量分离方程，恰当方程，积分因子法。解的适定性理论：PiCard存在唯一性定理，CaUChy存在唯一性定理，GrOnWaII不等式，解的延拓，比较定理，解对参数及初值的连续依赖性、可微性。线性方程与方程组：解的结构，常系数线性方程与方程组的求解，降阶法，EUler方程，(广义)嘉级数解法，LaPlaCe变换。自治系统的定性理论：Lyapunov稳定性，线性近似，Lyapunov函数。平面自治动力系统初步：奇点分析，相图。常微分方程参考书籍：丁同仁，李承治，常微分方程教程（第二版），高等教育出版社,2004o方道元
15、，薛儒英，常微分方程，高等教育出版社，2017oGeraldTeschl,OrdinaryDifferentialEquationsandDynamicalSystems,GraduateStudiesinMathematics9Volume140,.Soc.,Providence,2012.五、计算数学计算数学知识点：数值逼近的基本算法和理论：多项式及样条插值、曲线拟合、最佳逼近、数值微分与积分、非线性方程求根等。数值代数的基本算法和理论：求解线性方程组的直接解法和迭代解法，矩阵的特征值和特征向量的计算方法。常、偏微分方程有限差分方法的基本理论：差分格式的稳定性、截断误差、收敛性分析。计算数学参考书籍：数值逼近，蒋尔雄，赵风光，苏仰锋，复旦大学出版社，第二版（2008年7月）。数值线性代数，徐树方，高立，张平文，北京大学出版社,2002o矩阵计算（英文版.第四版），an,人民邮电出版社。微分方程数值解，陈文斌、程晋、吴新明、李立康，复旦大学出版社出版，2014oNumericalAnalysis,2ndedition,WalterGautschi,Sringer,2012.SolvingOrdinaryDifferentialEquationsLNonstiffproblemsr,SP.Norsett,
