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1、上海经验上海经验：一切课改最终要落实在课堂、落实于学生。教无定法。应当建立教学常态应当建立教学常态：讲好一堂课的原则应当是什么？ 评价一堂课的标准应当是什么？关于课堂教学，中华人民共和国义务教育法只提到一句话： 国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量。国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量。因此原则和标准是：启发式教学启发式教学。启发式教学是为了引发学生思考。正在修改的普通高中数学课程标准明确指出： 数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。孔子：学而不思则罔，思而不学则殆。课标：结果性目标、过程性目标、情感态度
2、价值观。 什么是过程性目标：经历、体验、探索？关于教育的哲学，教育研究1998年10期 教育是生存的需要、还是社会的需要？教育是主动的、还是被动教育是生存的需要、还是社会的需要？教育是主动的、还是被动的？的？ 教育三阶段：经验教育三阶段：经验的教育的教育（历史、过程）知识（历史、过程）知识的教育的教育（现在、结果（现在、结果） 智慧智慧的教育的教育（未来、结果（未来、结果 + + 过程过程） 经历过程是为了培养智慧。从“双基”到“四基”。试论教育的本源，教育研究2009年8期 充分彰显人与动物的最大区别：是劳动？是思维？ （1）生理：大脑容量；表现：制造工具；思维：想象能力。 （2）生理：发音
3、器官；表现：语言交流；思维：抽象能力。启发学生自己的思考，帮助积累活动经验，让学生： 会用会用数学的眼光数学的眼光观察现实世界、观察现实世界、 会用会用数学的思维数学的思维思考现实世界、思考现实世界、 会用会用数学的语言数学的语言表达现实世界。表达现实世界。这是数学教育的终极目标终极目标，也是制定数学核心素养的依据数学核心素养的依据。综上所述，数学教学活动应当秉承这样的基本理念： 把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题，启发把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题，启发独立思考、与他人交流，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学内容的独立思考、与他人交流，让学生在掌
4、握知识技能的同时，感悟数学内容的本质，积累数学思维的经验，本质，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养形成和发展数学核心素养。 掌握知识掌握知识 提高能力提高能力 发展素养发展素养一、一、什么是数学核心素养什么是数学核心素养二、二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养三、三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养一、什么是数学核心素养一、什么是数学核心素养 文件教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务提到核心素养。明确要求：修改课程标准，要把学科核心
5、素养贯穿始终。 北师大研究小组定义核心素养核心素养：是指学生应具备的、能够适应终身发是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的展和社会发展需要的必备品格必备品格和和关键能力关键能力。 高中数学课标修订组定义数学核心素养数学核心素养：是具有数学基本特征的、适是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力关键能力与与思维思维品质品质。 后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。 高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象
6、、数学运算、数据分析义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习设定数学核心素养的理由（三会）设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。二、如何在小学数学教学活动中体现数学核
7、心素养二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象）2.逻辑推理（推理能力、运算能力）3.数学模型（模型思想、数据分析观念） 1.数学抽象（义务教育阶段：符号意识、数感；几何直观、空间想象） 抽象对象：现实世界的数量与数量关系、图形与图形关系 抽象功能：得到数学的研究对象（概念、关系、规律） 抽象模式：舍去背景、保留关系、符号表达（更详细的？）义务教育阶段，主要体现在下述基本概念和运算法则 数量与关系：自然数、整数、分数、小数；运算、方程 图形与关系：点、线、面、体、角；长度、面积、体积 数学抽象是指数学抽象是指舍去事物的一切物理属性舍去事物的一
8、切物理属性，得到数学研究对象的思，得到数学研究对象的思维过程。维过程。 主要包括主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。用数学符号或者数学术语予以表征。对称图形指的是什么？图形面积指的是什么？ 什么是抽象？什么是抽象？如何理解数感？ 数是对数量的抽象，抽象的核心是舍去现实背景； 数感是对数的感悟，感悟的核心是回归现实背景。 感悟数100：100粒黄豆、100匹马（感觉不同）
9、100元钱去超市、100元钱去买房（场合不同）如何理解估算？ 在本质上，精算是对数的运算、估算是对数量的运算 估算需要背景（场合与量纲：课桌、教室、操场、县城） 估算需要原则（课标例26李阿姨买鱼：够不够、能不能） 抽象小结抽象小结 抽象出数学研究对象的概念（符号）、关系、法则（度量） 把数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部概念：概念：自然数、整数、分数、小数；点、线、面、体、角关系关系：三种关系（数量关系、图形关系、随机关系）运算：运算：四则运算；距离、面积、体积抽象的东西不是具体的存在抽象的东西不是具体的存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛 而是理念的存在而是理念的存在：
10、苹果、足球 看到的圆 头脑中的圆郑板桥郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。2. 逻辑推理（推理能力、运算能力） 推理对象：研究对象的性质、关系之间的规律 推理功能：得到数学的结论（命题、模式、结构） 推理模式：通过归纳类比猜想命题、通过演绎推理验证命题义务教育阶段，主要体现在下述性质、规律 数量与关系：正比例、反比例；方程、不等式、函数；随机现象 图形与关系：平移、旋转、轴对称；平行线；全等；直角坐标系 什么是数学的推理什么是数学的推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则依据规则推出推出其他其他命题的命题
11、的思维思维过程过程。 主要包括两类主要包括两类：一类是一类是从特殊到一般的推理，推理形式从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、主要有归纳、类比；一类是类比；一类是从一般到特殊的推理从一般到特殊的推理，推理形式推理形式主要有演绎。主要有演绎。 与合情推理的区别：不包括广义的联想和想象（形象思维）。试论数学推理过程中的逻辑，数学教育学报，2016（4） 什么样的推理是有逻辑的？什么样的推理是有逻辑的？下面三个推理是否有逻辑1.1.因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。2.2.三角形内角和三角形内角和180180度，因为度，因为18
12、0180度是平角，所以三角形是平角。度是平角，所以三角形是平角。3.3.因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。什么是推理？什么是推理？ 是一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。是一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。什么是命题？什么是命题？ 可以判断正确或者错误的陈述句。可以判断正确或者错误的陈述句。三、小学数学中的推理三、小学数学中的推理数学命题数学命题：可以判断正确或者错误的陈述句可以判断：下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的这个三角形是美的数学命题的两种形式：性质命题、关系命题性质命题性质命题：A 是 P。 数是
13、可以比较大小的数是可以比较大小的。三角形内角和是三角形内角和是180180度度。关系命题关系命题：如果 A 是 P，那么 A 是 Q。 如果两个数是偶数如果两个数是偶数，那么这两个数的和也为偶数那么这两个数的和也为偶数。 如果三条线段可以构成一个三角形，那么其中任意两如果三条线段可以构成一个三角形，那么其中任意两 条线段的长度之和必然大于第三条线段的长度。条线段的长度之和必然大于第三条线段的长度。逻辑推理逻辑推理：具有传递性的推理。有两种形式演绎推理演绎推理：从一般到特殊的推理（大范围到小范围）。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 结果是
14、必然成立的，用于验证结论。归纳类比归纳类比：从特殊到一般的推理（从经验到未经验）。 苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图有死，所以凡人都有苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图有死，所以凡人都有死。死。结果是或然成立的，用于发现结论。比如： 苏格拉底不到苏格拉底不到8080岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到8080岁死去，所以凡人不到岁死去，所以凡人不到8080岁死去。岁死去。演绎推理演绎推理演绎前提演绎前提：同一律：同一律： a = aa = a 矛盾律：矛盾律： a a P P 和和 a a P Pc c 不能同时成立不能同时成立 排中律：排中律： a a P P 和和
15、 a a P Pc c 必有一个成立必有一个成立几何前提几何前提：基本事实。基本事实。数与代数前提数与代数前提：命题命题1 1 等式（不等式）关系具有传递性等式（不等式）关系具有传递性 a = b (a a = b (a b b），b = c (b b = c (b c c） a = c (a a = c (a c c）命题命题2 2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变 a = b (a a = b (a b b） a + c = b + c (a + c a + c = b + c (a + c b + c b + c） 演绎推理
16、演绎推理问题问题：如何定义有理数的加法？必须让学生感悟必须让学生感悟：加上一个正数比原来的数大。 符号表示符号表示：对任意的数对任意的数 a 和正数和正数 b， a + b a。证明证明：因为因为 b b 为正数，所以为正数，所以 b b 0 0 在在不等式两边分别加上不等式两边分别加上 a a，由命题，由命题 2 2 得到得到 a + b a + b a a 所以所以结论成立。结论成立。类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。 演绎推理演绎推理类似命题类似命题：减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小数学符号：数学符号：b b 0 0，则则 a - b = a + (-b)a - b = a + (-b)证明证明：因为因为“减法是加法逆运算减法是加法逆运算”： a - b = x a = b + xa - b = x a = b + x 由命题由命题2 2，等式的两边分别加上，等式的两边分别加上（-b-b）等式不变：等式不变： a + (-b) = b + (-b) + xa + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：根据相反数
