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1、浅谈函数中“三个等价”的应用张长生(安徽省铜陵市第五中学zhangcs1985)摘要：本文主要从三个等价关系入手阐述高中数学中函数与方程的关系及其应用。关键词：函数，方程，等价引言：函数是高中数学的重要组成部分，其性质和图象的应用非常广泛，且对于转化化归、数形结合思想有较高要求，往往是学生学习的难点所在。其中，方程的根、函数的零点、函数图象的交点的相互转化是近几年高考的热点内容。下面，我们就谈一谈这类问题的解法。一、知识储备1、“三个等价”：函数y/(X)的零点方程,(x)0的根函数y/(x)图象与X轴交点的横坐标2、变形形式：方程/&)g(x)的根函数y与函数yg(x)图象交点的横坐标3、零
2、点存在性定理：如果函数)，/(%)在区间以口上的图象是一条连续不断的曲线，并有了，那么函数y/(%)在区间乃内有零点。4、函数图象的变换技巧：(1)平移变换：水平平移：函数yf(x力)的图象可将函数y/(X)的图象沿X轴向左。或向0平个单位得到；七%扭竖直平移：函数y/()的图象可将函数y/(x)的图象沿y轴向上。或向0平力个单位得到；(2)对称变换：函数y/(X)的图象可将函数y/(X)的图象关于y轴对称得到；函数y/0)的图象可将函数y/(X)的图象关于X轴对称得到；(3)翻折变换：函数y.（x.g图象可将函yJa）的图象的y轴右边部分沿），轴翻折到左边代替原y轴左边部分，并保留y右边部分
3、得到；函数y鬟图象可将函yJa）的图象的X轴下方部分沿JV轴翻折到上方，去掉原JV轴下方部分，并保留原X轴上方部分得到。二、基本题型1、根据条件确定方程根的个数及范围、函数零点的个数及范围;2、已知方程根的个数、函数零点的个数求参数的值或范围。三、方法总结1、转化：将方程的根、函数的零点等价转化为函数图象与X轴交点或两个函数交点2、构造：构造函数，利用导数及函数图象变换技巧画出函数大致图象，利用图象求解。四、典型例题U确定方程根的个数X【例1】函数74 2，4X1和函数g4x ,3 X 11.og2x,则方程/g的根的个数为.分析：方程/ g象交点，易得J 由图象可直观得出，f 点，即方程f
4、g的根即为函/图象如右图：图象有三不同的根的个数为3个。【变式训练1】已知函数fX、g则方程fg 的根的个数为。【变式训练2】方程2KX*3的实数解得个数为2、确定零点的个数【例2】函数/VX32在区间（0,1）内的零点个数为OA、OD、3B、1C2分析：函数/的零点即方f的根，也即2X2的根，于是令g2h图象如右图,32,问题转化为函数g图象交点的个数。于是画出观察图象得出,交点个数为1个，于是函f零点个数为1个。【变式训I练3】函数/XIn.二的零点的个数是【变式训练4】函数/X2X2,3的零点的个数为XtXA、OB、1C、2D、3、确定零点或方程根的范围【例3】函数/Inx2普零点所在的
5、大致区间为OOA、B、分析：方法一、易知/C、OIn2D、201.n3一.是根据零点存在性定理,方法二、函数/Inx在区间2内一定有零点;零点即方程InX的根，即InX2；的根，也即函数gInXf象交点的横坐标，于是画出图象如右：观察图象得出有一个交点A,且横坐标位于2,3g1.n2h,1.gIn3h得出交点A的则1之由2图2O横坐标位于2,3之间）。点评：有时通过图象不能直接判断交点的横坐标的范围，还需结合定量计算，通过函数值的大小关系来确定准确范围。【变式训练5】函数：Inx零点所在区间为（）。A、B、C、D、-M-.-rr-4、已知函数零点求参数的值【例4】若函数/or的零点是2,则函g
6、bx2Or的零点是A、0和2分析：由gOXC1.X2B、。和已知：f令g得,X,01,所以g02【变式训练7】若函/米（rC0和的零0和占头1D、2和即b，于是0X2Orb的两个零点是2和3,贝IJ函数gbx2ax1的零点是（）01111A、1和.B、和.C、和.D、5、已知方程根的个数、函数零点的个数求参数的值或范围。2有三个不同的交点，则直g须在过点A的直线与X轴之间，即0B线心【变式训练8】若方程柒%a0有两个解，则实数。的取值范围是（）。A、B、C、D、1八【变式训练9】若函数/32。1在区U上存在一个零点，则实。S1.的取值范围是O五、小结通过上述例题可看出，这类问题的关键所在就是“三个等价”之间的相互转化，其根本在于函数图象的应用，所以要求学生具有较强的画图、识图、用图的能力。解决这类问题要注意：（1）注重思维的转换，及时将问题等价转化；（2）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题，如数形结合思想、分类讨论思想等。参考文献章建跃等：高中数学必修1，人民教育出版社2007年版。
