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1、探究二次函数最值问题摘要：二次函数最值问题作为安徽中考必考的知识点，同时也是不少同学感觉得难点。难点在于构建函数模型，分析函数图像，解决实际问题，这里面最主要的就是体现了初中数学最主要的数形结合的思想。关键词：函数模型，函数性质，数形结合，最大值或者最小值。引言：本文首先从经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系，其次运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值，感受数学建模的思想和数学的应用价值。一、利用二次函数解决面积问题1.利用二次函数求最大面积例1小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：
2、米)的变化而变化.(1)求S与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(2)当X是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？赏析：利用矩形面积公式就可确定二次函数.(1)矩形一边长为X,则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标.解：根据题意，得S=x=-x2+30x.自变量X的取值范围是0x30;(2)S=-x2+30x=-(x-15)2+225,因为a=-1.0,所以S有最大值，即当X=15(米)时，S最大值是225(平方米).点评：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性.解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息
3、，建立实际问题中变量间的二次函数关系.2.利用二次函数判断面积取值成立的条件例2用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为X米，面积为y平方米.(1)求y关于X的函数关系式；(2)当X为何值时，养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.蜷(的)荒藜忝曲簿距的男=逃校，,再利用箱形的辆凌薪怖修靛G(2)(2)通过已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断.解：(1.)y=x(16-x)=x2+16x(0x16)；(2)当y=60时
4、，-2+16x=60,解得x1.=10,x2=6.所以当x=10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y=70时，-x2+16x=70,整理，得x216x70=0,由于=256-280=-243,所以盖帽能获得成功.3.落点问题%9如擀匆选精索却摘产处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(4在y轴上)，起动员乙在距。点6米的6处发现球在自己头的正上方达到最高点机距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少
5、米(取，3=7)?(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前M多少米(取到厂6=5)?赏析：要求足球开始飞出匈1一次落地时，地物线的表般,则需要根据已知条件确定贯桥福魁挤前也森学嘲投陈=榔嚼幽寺游或点叫辆嬲脚和牛顶点财的坐标是(6,4).根据顶点式可求得抛物线关系式.因为点。在X轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y=0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点A他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长.求解的方法有多种.解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为尸a(-6)2+4,1由已知：当x=0时，y=1.即1.=36a+4,所以a=.1211所以函数表
6、达式为y=(才-6)2+4或y=-xz+x+1.；1令y=0,则一（x6）2+4=O,所以（x6）2=48,所以x=45斗6-13,2=4广60,二.当m=3时，S取最大屋，9_2/.P(32,3);m2= -3 + 近V(3)存在，理由如下：如图2-1,当NCPD=90。时，.NCOD=ODP=NCPD=90,.四边形CODP为矩形，.PD=CO=3,将y=3代入直线y=-2x+6,得，X=3,：.P(32,3);如图2-2,当NPCD=90。时,VOC=3,0D=m,.CD2=OC2+OD2=9+m2,PD/OC,.,.NPDC=NOCD,.,.coszPDC=coszOCD,.PD=OC
7、,DC2=PDOC,/.9+m2=3(-2m+6),解得，m=-3-3*舍去.P(-3+3助,12-6号当NPDC=90。时，VPDX?11,不存在，综上所述，点P的坐标为(32,3)或(332xf2-62).-V-v点评：本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值以及直角三角形的存在性与被朝吉余籁考解蟀春健臻检聘蜜哪驱魁峨桶阳及直角三角形的存在2.涉及圆的知识综合-X韶凰自知三恢翰数y=ax2+bx+2的阙象与X轴交于点B(TQ)，点轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；(2)连接AC,ABt若点N在线段BC上运动,不与点B,C重合，过点N作NM/AC,面积最大时，求N点的坐标；交力3于点M,当AMN(3)在(2)的结论下，若点0在第一象限，且tanCQN=2,线段BQ是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由.赏析：(1)由反。的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；2)：N(n,O),Jff1.n表AM示出AABN的面积，由NM/AC,可求得一则可用表示出AAMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时的值
