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1、2023-2023学年其次学期高数期末考试题一.填空题（每小题4分,共20分）1 .Z=4d+9y2点（2,1）的梯度歹4心=16,18.2 .f（x,y）=4+y4-X2-2xy-（U）,（T-1）.3 .假设L为圆周f+y2=片的右半部分，则L后丁ds=a.=0.4 .设24=0飞111力+（2%2+2）/+%2丁2及,则力4（）5 .设y=3,%=3+/,%=3+无2+e都是方程（x2-2xy-x-2y,+2x-2y=6x-6的解,则该方程的通解为y=C1X2+C2ex+3.二,（本题8分）计算三重积分Dl（X2+y2+z2%,其中。是由V+/+Z2=1所围成的闭球体.原式=J（JdeJ
2、；域/2sindr=三 .（本题8分）证明:/（x,y）=TR在点（0,0）处连续，A（。，0）-v（0,0）存在,但在（0,0）处不可微(1)因为15屈=O=/(0,0),y0所以/(%,y)=洞在点(0,0)处连续.力(0,0)=Iim/3，。)一/。)=0,x同理4go)=。，所以力(0,0)与4(0,0)存在.aw.r-0)Ax+v(0,0)3;(3)因为hmlJ.不存在,忆片x2+所以/(x,y)在(0,0)处不可微.四 .(本题8分)设函数(%,y)有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式=rcos6,y=rsin,将型_y型变换为匕。下的表达式.yx由X=rcos,y=rsi
3、n。得到r=Jx2+y2,=arctan,从而XSine CoSer ydrdr.一=cos,一=sin=xyxT日uuujtexy=.yx五 .（本题8分）$竺二单,其中L为：JLX2+/（1）圆周（-lf+（yT）2=l（按反时针方向）（2）闭曲线国+3=1（按反时针方向）圆周（xT）2+（yif=1（按反时针方向）由于线=当（,y）（o。,利用格林公式,xyfxdy-ydx匕X2+y2（2）闭曲线忖+3=1（按反时针方向）作小圆/广：Y+y2=储,取顺时针方向，r xdy . ydx J x2 + y2则在复连通区域上用格林公式有=2rxdy-ydx22x+y六 .（本题8分）计算JJy
4、dS,E是平面x+y+z=4被圆柱面Y+-y2=截出的有限部分.z=4-x-y,dS=dxdy在My面的投影区域为D：/+y21则JJydS=JJCydxdy=0(对称性)D七 .（本题8分）计算曲面积分=JJyzdzdx+2渥%其中3为上半球面Z=Jf_y2的上侧.:Z=y4-x2-y2,取上侧，即法向量=%,y,z,利用对坐标的转换dzdx=C0S7dxdy=dxdy,COS/Z2在My面的投影区域为。:Y+y24贝J=JJyzdzdx+Idxdy=jj(y2+2)dxdy=JJ(V+2)公力=12;TD八 .（本题6分）求微分方程电+1=型的通解.dxXX通解为:y=C-8S%.X九 .
5、（本题6分）求微分方程2y+y-y=2e的通解.通解为:y=G/+。2+/十.（非化工类做）（本题6分）（1YI求幕级数WWprX2T的收敛域.收敛域为-2,2十一.（非化工类做）（本题7分）将函数/（X）=J展开成麦克劳林级数,2+x-x并确定其成立区间i7区（T广，扑，Xe（TI）z+x-x3=oL/十二.（非化工类做）（本题7分）设函数f（x）是以2为周期的周期函数，它在-匹上的表达式为f（x） = J11-x00x将其展开成傅立叶级数,并确定其成立范围12一1sin(2-l)x, x0, 匹2匹3万X=0,匹2万,3加寸（%）的傅立叶级数收敛于0.十.（化工类做）（本题6分）求微分方程（3d+6xy,2）dx+（x1y+4y3dy=0的通角翠通解为:丁+3x2y2+y4=C十一.（化工类做）（本题7分）$XdS,其中Z为直线y=X及抛物线y=X2计算所围成区域的整个边界.fxds=fx1+4x2dx+忑IXdXJLJ0J0=（55-l）+2y十二.（化工类做）（本题7分）求微分方程y+上y2R的通解.-y通解为y=l1C1x+C2
