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1、竞赛中的直线与圆1.两点距离例1:(2023年全国中学数学联赛浙江初赛试题)设x“yk(k=l,2,3)均为非负实数,则J(2007-力-力尸+W+73+2+V,2+xi+Jy:+(X】+必+啊产的最小值为.解析：类题：1 .(1)(2023年全国中学数学联赛试题)若实数x,y满足(x+5)2+(yT2)J142,则/+y，的最小值为.(2)(2023年全国中学数学联赛湖南初赛试题)若实数x,y满足(x+2)z+(y-5)9,则(XT),(yT),的最大值为.2 .(2023年全国中学数学联赛试题)在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3,0),8(1,-1)3(0,3),口(-1,3)及一个动
2、点巳则PA+PB+PC+PD的最小值为一.3 .(1)(2023年全国中学数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=J+2x+2+Jf一2+2的最小值是.(2)(2023年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=J-2x+52-4x+I3,则f(x)的最小值为.4 .(2023年全国中学数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+yx2+2ax+5a2(xR)的最小值为10,贝IJa=.5 .(1)(2023年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)函数y=TTMG-庐不Q达到最大值时,x的值是.(2)(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)当xR时,函数y=J+2+o-J2-+o(
3、)（八）没有最大值和最小值(B)有最大值,没有最小值(C)没有最大值,有最小值(D)有最大值和最小值6 .(1)(1992年全国中学数学联赛试题)函数f(x)=J-32-6x+13-Jd-1+的最大值是.(2)(2023年全国中学数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=77工7工-京GT7的最大值是.2 .直线问题例2:(1988年全国中学数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I表示全部直线的集合,M表示恰好通过一个整点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:MUNUP=I;N0;M#0:PW0.中正确的个数是()（
4、八）I(B)2(03(D)4解析：类题：1. (1987年全国中学数学联赛上海初赛试题)若直线(a-l)y=(3a+2)-l不通过其次象限(xO),则a的取值范围是.2. (1997年全国中学数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为.3. (2023年全国中学数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P作直线1与X轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则使AOB(O为坐标原点)的周长最小的直线1的方程是4. （2000年全国中学数学联赛试题）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=gx+5的距离中的最小值是.5.
5、（1999年全国中学数学联赛试题）已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角，那么,这样的直线的条数是.6. （2023年安徽高考试题）（理）在平面直角坐标系中,假如X与y都是整数,就称点（x,y）为整点,下列命题中正确的是（写出全部正确命题的编号）.存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;假如k与b都是无理数,则直线y=kxb不经过任何整点;直线1经过无穷多个整点，当且仅当1经过两个不同的整点;直线y=kxb经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;存在恰经过一个整点的直线.3 .直线方程
6、例3：（2023年全国中学数学联赛广东初赛试题）若点（1,1）到直线Xcos+ysina=2的距离为d,则d的最大值是.解析：类题：1. （1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）m是随意实数，0是给定的实数，由关于X和y的方程x=3+a+m2）8s0y=l+（l-2）sin确定的动点（x,y）在平面直角坐标系内对应的图形是.2. （2023年全国中学数学联赛陕西初赛试题）己知0k4,直线L:kx-2y-2k+8=0和直线L2x+ky4kZ-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为.3. （2023年全国中学数学联赛河南初赛试题）当取遍全体实数时,直线XCoS0
7、+ysin=4+2sin（+工）所闱成的图形4的面积是.4. （2023年江西商考试题）设直线系M:xcos+（y-2）sin=1（02n）.对于下列四个命题:存在一个圆与全部直线相交;存在一个圆与全部直线不相交;存在一个圆与全部直线相切;M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是（写出全部真命题的代号）.4 .位置关系例4：（2023年其次十届“希望杯全国数学邀请赛（高二）试题）己知直线l,x+2y-4=0,直线M2a-y+l=0和坐标轴围成的四边形有外接圆,则a的值等于.解析：类题：1.（2023年全国中学数学联赛吉林初赛试题）已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为（m+l
8、）x+y-2=0和4m2+（m+l）y-4=0.贝际的值为.2. （1987年上海商考试题）若直线L:ax+2y+6=0与直线lx+（aT）丫+（录-1）=0平行但不重合,则a等于（）（八）T和2（B）T（C）2（D）-33. （2023年全国中学数学联赛福建初赛试题）若直线LM2m+l）-4y+3m=0与直线Wx+（m+5）y-3m=0平行,则m的值为一.4. （1988年全国中学数学联赛试题）已知直线1:2x+y=0,过点（T0,0）作直线mil,则m与1的交点坐标为.5. （2023年上海春招试题）在AABC中,若IgsinAJgsinBJgsinC成等差数列,则直线xsin2A+ysi
9、nA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）（八）平行（B）垂直（C）重合（D）相交不垂直6. (2023年全国I高考试题)若直线m被两平行直线lt-y+l=0与L-y+3=0所截得的线段的长为20,则m的倾斜角可以是:15;30;45;60;75.其中正确答案的序号是(写出全部正确答案的序号).5 .轴对称性例5：(2023年全国中学数学联赛江西初赛试题)抛物线丫=2(上两点八凤,y.),B(x2,九)关于直线y=x+m对称,若2x3=T,则2m的值是.解析：类题：1. (2023年全国中学数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(T,1)发出并经X轴反射,到达圆(-2)(y-3
10、)2=l上一点的最短路程是.2. (1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内，从点P(5,2)发出的光线射向X轴,经X轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于.3. (2023年全国中学数学联赛天津初赛试题)已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0n0)关于直线h6xny-5=0对称,则m+n=_.(2)(2023年全国中学数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(OJ)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠，则m+n=.5. (2023年北京高考试题)过直线y=x上的一点作圆
11、(x5)2+(y)2=2的两条切线hh当直线1口关于y=x对称时,它们一之间的夹角为()（八）300(B)45o(C)6Oo(D)9Oo6. (2023年四川高考试题)已知抛物线y=-3上存在关于直线x+y=O对称的相异两点A、B,则ABl等于()（八）3(B)4(C)32(D)42解析：6.平面区域例6：(1994年全国中学数学联赛试题)已知有线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是.解析：类题：1.(1)(1997年全国中学数学联赛上海初赛试题)已知两直线x-y=2与cx+y=3的交点在第一象限,则实数C的
12、取值范围是(2)(2023年全国中学数学联赛黑龙江初赛试题)已知直线y=kx2k+l与直线y=-lx+2的交点位于第一象限，则实数k的2取值范围是.(3)(2023年天津高考试题)若过定点M(T,0)且斜率为k的直线与圆x4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()（八）0k5(B)-后k0(C)0kB(D)0k00x3x-0(B) .x+yO OwXW3-j0(C) x + y0 Ox3(D)x-y0 x + yO 0x3x+j-ll04 .(1)(2023年北京高考试题)设不等式组3x-y+3之0,表示的平面区域为D,若指数函数y=a的图像上存在区域D上的点,5x-3+
13、90则a的取值范围是(A(l,3(B)2,3(C)(l,2(D)3,+)3x-y-60(2023年山东高考试题)设X,y满足约束条件x-y+220,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则2+：的abxQ.yQ最小值为()(C)(D) 4（八）与65 .(2023年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y21,u=yZ-2y+x+6x,则U的最小值等于.(2)(2023年全国中学数学联赛福建初赛试题)假照实数X,y满足3x+2y-l0,那么u=x2+y2+6-2y的最小值是.6 .(1)(2023年江苏高考试题)在平面直角坐标系XOy中,己知区域A=(x,y)x+y1,则平面区域B=(x+y,xy)(x,y)IX0,y0A的面积为()11（八）2(B)I(C)2(D)Zx0(2)(2023年浙江高考试题)若a20,b20,且当(y0时,恒有ax+byWl,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的x+y面积是()（八）-j(B)7(C)I(D)J(3)(2023年全国中学数学联赛浙江初赛试题)在平面区域(x,y)Ilxl1,
