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1、初升高衔接课6二次函数的思维模型一、二次函数的基本性质要点一、二次函数的基本形式(1)一般式：y=+b+c(a0).已知图象上三点或三对工、尸的值，通常选择一般式.(2)顶点式：j=(x-f+*(a0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)“交点式：y=(三X-0)己知图象与X轴的交点坐标不】、J2要点三、二次函数的对称轴与对称性=上(1)对称轴：-2at用于分开二次函数的增减性(2)对称性：当y值相同时，Xi与Xz关于对称轴对称要点四、二次函数的取值范围(1)注意X的取值是否含顶点(2)注意寻找最值(3)定义y的范围称函数的值域，X的范围称函数的定义域一，二次函数的值域问题例L已知
2、函数f(x)=(x1)2,当x0,3时，/(x)值域是；当O,+8)时，f(x)值域是；当x-l,O时，/(力值域是:答案：0,4,0,+8),1,4；【变式1已知函数f()=2+r当3时，值域是；当Xtl,+8)时，值域xw-l,是；当x0,2时，值域是；319答案：了3,+)，口，刀；【变式2】已知函数2，当xl,3时，值域是；当x-2,0时，值域f()=-，X+x-3是；当2,+8)时，值域是；2 答案:(-00,-2 U ,+)【变式3】函数F(X)=0+r=l:的值域是x2-2x3例2.(1)已知二次函数f(x)=2+l,求增减性(2)函数F(X)=Znr2-(37w+i)x+i在卜
3、IZ上是单调减函数，求实数m的取值范围。答案：；m15【变式4】函数/(1)二/一(2+1)工+2在-2,0上是增函数，则0的取值范围是.答案：a：2【变式5】函数/(二(2_刈12_2械+4在(To)上是减函数则2的取值范围是.答案：加0:【变式6】如果函数/(x)=(al)x+5在:区间(,1)上是增函数，求f(2)的取值范囿答案：7,+8)；【变式7一知函数F(X)=X2+2依+2,5,5.求实数。的取值范围，使y=(幻在区间-5,5上是单调函数。【答案】对称轴=-,当一-5或-15时，/()在卜5,5上单调或-5答案：解：对称轴为二2(1)当2v即,2时,ymi =。=5 _+3；(2
4、)当f2f+l即lr2时，ynin=(2)=-f(3)当2f+l即EVl时，ymin=( + l)=2f例4.求函数/() = f _2奴+1”1同的最小值？最大值?答案：求最小值：解：对称轴vA0 一。(1)当时)嬴=1) = 2-2小当l3时，Wn=%)=-2；当3时,ymin=(3) = 10-6求最大值：解:(I)当2时，/(力=3) = 10-3;当2时，)a=l) = 2-240【变式8求函数y = f_4x + 3在区间” + 1上的最大值。答案：解:/(maxt2 -2t,t-2r2-4r + 3- 2【变式9已知二次函数/(刈=工2_2纨_1，当x0,2上有最小值g(。)，求
5、g(4)的解析式。答案:g() = -1,0-2 -l,Otz 23 4, 2【变式10当JCeo1时，求函数/() = +(2-6g + 3/的最小值解析：对称轴=3.-l,当即J时，0是/的递增区间，/(x)mjn=/(0)=3253当即时0,1是/(x)的递减区间/*焉=川)=3/_64+3；a3当03-ll,即Lq/时/(x)mm=f(3-1)=-6/+6-33例5.已知/()=TX2+44-/在区间0,内有.最大值一5，求的值解析：对称轴，当即。0时，0是/*)的递减区间，X22,则,(x)ma=/(0)=-4a_/=_5，得=l或=_5，而avO，即。=5；当q即2时，是/的递增区
6、间，则/(/=-4”二2，得=l或=_1，而。2，即。不存在；当a即02时，o-,一2则5小濡=勺)i = -5M = a即 5 ; , = 一5或 5a = 44【变式11若a0,当_l时，函数),=_/_ar+8+的最小值是-4,最大值是0,求a、b的值答案：a=2,b=-2i解析：/-l-l-022/(-D=O/(D=-4/(-)=0/(D=-4二次函数零点分析：理解以及识记二次函数零点分析的几种类型和处理方法，其他情况最需要稍加变型即可。开口向下的情况如此雷同。(1)两零点在两边,(2)两零点在区间外；V./.(3)两零点在一边；Z(4)一零点在中间；,V令：/010Z-5V/令：(/
7、(3)0/(W)0令：/(T)0*bJ-12a令：(T)0(5)两零点在区间内；(6)两零点在两区间(7)没有零点或一个零/.J_1/1点/V-4/sf(3)0f令：V,/(6)0j/(-4)0;没有零点，令：/(OXO50;3-6：2a/O5一个零点，令：=0;没有零点或一个零点，令：0?例6.已知/()=r2+zr+c(其中a0)，当/()满足什么条件时会出现下面的图像:【变式12已知/(X)=Qd+法+,(其中工0)，当了(X)满足什么条件时会出现下面的图像:【变式13设有一元二次方程2+2(mT)x+(m+2)=0.试问:(l)m为何值时，有一正根、一负根.(2)m为何值时，有一根大于
8、1、另一根小于1.(3)m为何值时，有两正根.(4)m为何值时，有两负根.(5)m为何值时，仅有一根在1,4内？答案：(l)m-2.m3-2TQ了.解：(1)设方程一正根X2,一负根X”显然Xi、x20,依违达定理有m20./.m-2.反思回顾：X】、XzVO条件下，ac().设XIV1,x2l,则XlTV0,X2TO只要求(XIT)(X2-1)VO,BPxx2-(x+x2)+l.依韦达定理有(m+2)+2(m-l)+l0.解得mo,0,x1 xa0.(3)若x0,x20,则X1+x2且x,X20,故应满足条件4(m-I)3-4(m*2)0,依韦达定理有0,m20.解得o,(4)设VO,x3O
9、K+x3.lx*xa0.4(m-I)3-4(m*2)0,依韦达定理有,-2(m-2)0.解得(5)由图象不难知道,方程f(x)=O在3,4内仅有一实根条件为f(3)f(4)V0,即9+6(m-l)+(m+2)16+8(m-l)+(m+2)0.(7m+l)(9m+10)0.【变式14已知关于X的方程(m-l)2-2mx+m2+m-6=0有两个实根,且满足OVaVlVB,求实数m的取值范围.解：设f(x)=2-2mx+m2+-6,则方程f(x)=0的两个根a,就是抛物线y=f(x)与X轴的两个交点的横坐标.如图，OVaVIVB的条件是解得2mJT或-3m0w 3(42-42(3w-D20b4m-2m0a2当冽W(EI；掰4(或.2D时，原方程有两个负数根
