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1、直角三角形中成比例线段（二）一、教学目的和要求1.使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。2.使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。二、教学重点和难点掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。三、教学过程（一）复习、引入直角三角形有哪些性质？一一由学生回答再归纳。（1）两锐角互余（2）勾股定理（3）斜边中线等于斜边一半（4）30。角所对的直角边等于斜边的一半（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。（二）新课今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。我们知道A3C中，NAC8=90。，CnL45于D,这
2、里可以得到三对相似三角形,分别写出它们对应边的比例式。（见图1）(1) ABC ACD,AB _AC _BCACAD-CDAB _AC _BCBCCDBDAC _CD _ADCBCBCD(2) ABC CBD,(3) MCD CBD,在上面提到的三对相似三角形中都有一条公共边，但它们不会是对应边，将含有公共边的比例式改写成等积式是(1)中：AC2=ADAB(2)中BC?=BZ)AB(3)中CZ)?=囱).a。这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影
3、定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，(但注意不可直接使用)。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。如图2,CD是用AAgC的斜边AB上的高，设8C=*CA=b,AB=c,CD，AD=q,DB=p,用4、匕、c力、p、夕表示图中的关系。1.勾股定理(1)6F2+2=C2(2) A2+2=Z?2(3)2+p2=22 .比例中项关系(1) h2=pq(2)a2=pc=p(p+g)(3)2=qc=q(p+q)3 .面积关系ah=ch通过以上关系,我们可以分析出在RfAABC的六条线段a、
4、b、c、h、p、4中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。例1如上图CD是RtfSABC的斜边AB上的高。(I)已知：0=3,b=4,求：h解：ZACB=90。，CZZLAB/.c=yja2+b2=32+42=5.ab=ch.ab12.h=c5注意：求要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。(2)已知：=5,=3,求：c解：先求q利用勾股定理.q=V2-h2=4.b2=qcb25225.*.c=442A299/25、(取,.n=p.q,:.P=,c=p+q=-+4=)q444(3)已知：b=2,p=3,求：h,a分析：求/7,必先知4；q与b、C有关，而C=P+
5、“，其中P是已知线段。解：b?=q(q+p).4=q2+3q(得到关于4的一元二次方程，只要含有一个未知数就可解)：.q、=-4(不合题意,舍去)%=1,;h2=pq=3.,.hy3*:a2=pc=3(3+1)a=23练习：条件如例1(1)已知：p=25,=60,求：q,a(144,65)(2)己知：=3,p=1.8,求：c,z(5,2.4)(3)已知：1=5,c=13,求：h,p(,)1313(4)己知：=20,0=9,求：c,h(25,15)请同学们充分讨论。目前解题中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中边的各种关系。例2已知：ABC中，N84C是直角，AD是高，AB=2AC,求
6、证：5AD=2BC分析：求证中是研究AD与BC的关系，斜边BC与斜边上的高，AD不会有比例关系,AB2而AD与DC,BD有比例关系，且BC=CD+DB,由于二一，所以可利用。AC1Af8ACD4来求AD、BD、DC间倍数关系。图3证明：NBAC是直角，AD是高.ADBNCDA,ad=ab=db=2tCDACDA:.DB=2AD,CD=-AD2.BC=DB+CD=-AD2:,5AD=IBC(三)小结直角三角形中的成比例线段很重要，在以后的学习中经常会遇到。其中要抓住两直角边、及斜边上的高是比例中项的情况(即/=pq,/=qjb2=pc).注意要使用这个关系时，还要再利用相似三角形对应边成比例证明
7、一下。因为它不是定理。由于直角三角形中的关系除了射影定理外，还有勾股定理，所以在求某一线段时，关系较多，方法并不唯一，请同学们认真分析题意。一般情况下，若勾股定理或射影定理都能使用时，往往利用射影定理，因为它的计算较勾股定理简单。(四)作业1. CD是RtMBC的斜边AB上的高，设BC=a,CA=b,AB=c,CD=h,AD=q,DB=p。(1)已知：c=29,p=4,求/?和b；(2)已知：=5,=4,求P和q；(3)已知：=1(),=6,求4和6；(4)己知：p=4,z=10,求和。2. 已知：ABC中，ADJ交BC于D,且AD是BD、DC的比例中项。求证：A8C是直角三角形。3. A8C中，ZfiAC=90AD是高，且BC=5DC0求证：BC2=5AC2o
