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1、第十讲第十讲 解三角形解三角形ABCabcABC中：中：A+B+C=（1）（2）22CBA22C（3）BAbaBAsinsinRCcBbAa2sinsinsin 正弦定理正弦定理:CRcBRbARasin2sin2sin2(边化角边化角)RcCRbBRaA2sin2sin2sin（角化边）（角化边）从理论上正弦定理可解决两类问题：从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。而可求其它的边和角。aab 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解已
2、知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）或一解（见图示）CABbaCABbaCABbaCAbaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 一解一解ab 2accbacosC 2acbcacosB 2bcacbcosA 222222222余弦定理：余弦定理：求角求角CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222求边求边余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题：1已知三边求三角；已知三边求三角；2已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而可求其它角。可求其它角。bcabc面积公式：面积公式：BacAbcCabSs
3、in21 sin21 sin21 bc典型例题分析：典型例题分析：例在例在ABC中，角均为锐角，且中，角均为锐角，且则则ABC的形状是（的形状是（）A直角三角形直角三角形 B锐角三角形锐角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形,sincosBA答案：答案：cossin()sin,22AABA B都是锐角，都是锐角，,222AB ABC则则选选训练、在锐角训练、在锐角ABC中，求证：中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin证明：证明：ABC是锐角三角形，是锐角三角形，即即,2AB022ABsinsin()2AB即即 sincosAB同理同理 sincosBCsi
4、ncosCA，CBACBAcoscoscossinsinsinABCBabsin2A0300600060120 或0015030 或例、在例、在中，若中，若则则等于（等于（）B C D A答案：答案：012 sin,sin2sin sin,sin,302baBBABAA或或 0150选选 D例例3、在、在ABC中，中，则，则 的最大值是的最大值是_。,26AB030C ACBCCAB,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBAC解：解：ACBC2(62)(sinsin)4(62)sincos22A BA BABmax4cos4,()42ABACBC例例4、在、在AB
5、C中，若中，若 则则ABC的形状是什么？的形状是什么？,coscoscosCcBbAa解：解：coscoscos,sin cossin cossin cosaA bB cCAABBCCsin2sin2sin2,2sin()cos()2sin cosABCA BA BCCcos()cos(),2coscos0ABABAB cos0A或或cos0B 得得 或或 2A2B所以所以ABC是直角三角形。是直角三角形。例例5、在、在ABC中，若中，若 ，则求证：则求证：。0120 BA1cabcba分析：分析：要证要证：1cabcba只要证只要证：2221aacbbcabbcacc即即：222abcab而
6、而 0120 BA060C 2222220cos,2cos602abcCabcababab原式成立。原式成立。例例6、在、在ABC中，若中，若 ，则求证：则求证：223coscos222CAbac2acb证明：证明：223coscos222CAbac即即：sinsincossinsincos3sinAACCCAB sinsinsin()3sinACACB即即：sinsin2sinACB 1 cos1 cos3sinsinsin222CABAC2acb即即：例例7、在、在ABC中，若中，若 则则ABC的形状是的形状是_。21(1cos21cos2)cos()1,2ABAB 21(cos 2cos
7、 2)cos()0,2ABAB2cos()cos()cos()0ABABABcoscoscos0ABC 例例8、在、在ABC中，若中，若 ，则，则 的值是的值是_。acb2BBCA2coscos)cos(22,sinsinsin,bacBAC分析：分析：BBCA2coscos)cos(由由得：得：2coscossinsincos1 2sinACACBB cos cossin sincos1 2sin sinACACBAC coscossinsincos1ACACBcos()cos11ACB 例例9、如果、如果ABC内接于半径为的圆，且内接于半径为的圆，且求求ABC的面积的最大值。的面积的最大值
8、。,sin)2()sin(sin222BbaCAR解：解：2 sinsin2 sinsin(2)sin,RAARCCa bB222sinsin(2)sin,2,aA cCa bBacab b 222222022,cos,4522abcabcabCCab122sin2 sin2 sin244SabCabRARB222 sin2 sin2sinsin4RARBRAB222 sin2 sin2sinsin4RARBRAB212cos()cos()2RABAB22122cos()2222(1)22RABR2max212SR 此时此时 取得等号取得等号AB例例10、已知、已知ABC的三边的三边 且且 ，
9、求，求cba2,2CAbca:a b c解：解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222A CA CA CA CACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BA CBBBB3337 1sinsin()sincoscossin4444ABBB7 1sinsin()sincoscossin4444CBBB:sin:sin:sina b cABC)77(:7:)77(3,24242BBACACB AC例例11、在、在ABC中，若中，若()()3a b c a b cac 且且 ，边上的高为边上的高为 ，求角求角 的大小与边的大小与边 的长。的长。tantan33AC AB4 3,A B C,a b c解：解：22201()()3,cos,602a b c a b cac acbacBB tantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACACtantan23AC tantan33AC 又又 得得 tan1tan23tan1tan23AACC或即：即：000075454575AACC或 当当 时，时，0075,45AC4 34(3 26),8(31),8sinbcaA 当当 时，时，0045,75AC4 34 6,4(3 1),8sinbcaA
