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1、2023年9月13日1第第9 9章章 分析动力学基础分析动力学基础2023年9月13日2动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分2023年9月13日3运用矢量力学分析非自由质点系，必然会运用矢量力学分析非自由质点系，必然会遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否建立不含未知约束力的动力学方程？建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为第二类拉氏方程，实现用最少
2、数目方程，描述第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述动力系统动力系统。2023年9月13日4 一一.方程的一般形式方程的一般形式iiIir0FF动力学普遍方程或动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理达朗贝尔拉格朗日原理理想约束，不论约束完整，定常与否均适用理想约束，不论约束完整，定常与否均适用9-1 9-1 动力学普遍方程动力学普遍方程2.2.直角坐标形式：直角坐标形式：1.1.矢量形式：矢量形式：2023年9月13日5广义坐标形式广义坐标形式设完整约束系统有设完整约束系统有K个自由度，可取个自由度，可取 广义坐标广义坐标.,.,kqqqq321广义主动力广义主动力广义惯性力广义惯性力1jni
3、QiijFqrF*1jniQiiijFmqr a 包含了惯性力虚功包含了惯性力虚功!*0jjQQFFkj,2,1*1()0jjkQQjjFFq2023年9月13日6例例1 1 图示为离心式调速器图示为离心式调速器已知：已知：m1,m2,l,求：求：()的关系。的关系。BAClll 答：答：m1gm2gm1g2023年9月13日7JrPP,21例例2 2 已知已知求求a?答答:2122122sin22PP ragPP rJg1p2p1pa2023年9月13日82023年9月13日9已知重量已知重量 轮纯滚轮纯滚,水平面光滑水平面光滑,求三棱柱加速度。求三棱柱加速度。12G,G,r,及O2G1Gr
4、2023年9月13日10解解:加惯性力，受力如图。加惯性力，受力如图。选选 广义坐标。广义坐标。x,由由 0 0 0 xFW=,x12211cos0GGGaxrxaxggg有有即即 cos2121rGaGG(a)又由又由 有有 0 0 0FW,x,O2G1Gr1a x11aGg2rGg21aGg2212rGg2023年9月13日112222121cossin02GGGrrrarGrggg 212122sin232sinG gaGGG式式(a)代入代入(b),可得可得令令 时，牵连惯性力时，牵连惯性力 并不为零；并不为零；0 x 21Gag 令令 时，相对惯性力时，相对惯性力 并不为零，并不为零
5、，两者相互独立。两者相互独立。02Grg0sincos232122gGagGrgG(b)即即注意注意:2023年9月13日12 均质圆柱均质圆柱1与与薄壁圆筒薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕用绳相连，并多圈缠绕圆筒圆筒(绳与滑轮绳与滑轮A的重量不计的重量不计)。已知。已知 试求运动过程中轮心试求运动过程中轮心C与轮心与轮心O的加速度大小。的加速度大小。12m,m,r,图(a)CAr1O2r1m2m2023年9月13日13图图(b)CA1O2取两轮转角取两轮转角 为为广义坐标，其受力与运广义坐标，其受力与运动分析，如图动分析，如图(b)所示，所示，12,令令 120,0，由，由2()0FW1212
6、,CCvrrarr(a)有有 22222()0CCm gm arJ(b)10m a1m g1OJ2m g2CJ2Cm a12解解:自由度自由度k=2=22023年9月13日14将式将式(a)及及22CJm r代入代入(b)式式，得12(2)rg(c)再令120,0由由1()0FW有有 联立联立(c)和和(d)式，可得式，可得221011212(23),32(3)Cm gmm garammmm101011221()0Cm a rJm am g r 即即1212223()2m rm rm rm g(d)图图(b)CA1O210m a1m g1OJ2m g2CJ2Cm a122023年9月13日15
7、本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?用动力学普遍定理如何求解用动力学普遍定理如何求解?计入滑轮计入滑轮A质量质量,结果有何变化结果有何变化?图(b)CA1O210m a1m g1OJ2m g2CJ2Cm a122023年9月13日16 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。将微分关系。将 能量化能量化 从而导出拉氏从而导出拉氏方程。方程。*jQF*jQF9-2 拉格朗日方程拉格朗日方程*0 1,2,.jjQQFFjk对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为1
8、)1)“同时消点同时消点”2)2)“交换关系交换关系”（求导）（求导）ijjiqqrrjjtiiddqqrr2023年9月13日17一、拉氏方程的一般形式一、拉氏方程的一般形式第二类拉氏方程，以第二类拉氏方程，以t为自变量，为自变量，为未知函数的为未知函数的二阶常微分方程组，二阶常微分方程组，2k个积分常量，须个积分常量，须2k个初始条个初始条件件 1,2,.jQjjdTTFjkdtqq()jq t2023年9月13日18OARr例例1 1 均质杆均质杆OA质量为质量为m1、可绕轴、可绕轴O转动转动,大齿轮半径为大齿轮半径为R，小齿轮质量为小齿轮质量为m2，半，半径为径为r，其上作用一常力偶，
9、其上作用一常力偶M，设机构处，设机构处于水平面。于水平面。求：该杆的运动方程。求：该杆的运动方程。答：答：2023年9月13日19例例2 2 已知：已知：m1,m2,R,f,F 。求：求：板的加速度板的加速度a。CR答：答：Oxx2023年9月13日20解解:本系统为完整约束，主动力非有本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。势，采用基本形式的拉氏方程求解。如图所示，铰盘半径为如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为，转动惯量为J，其上作用力偶矩为其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为的力偶，重物质量分别为 12,m m不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度不计摩擦与滑轮质量，求
10、铰盘的角加速度 。判断系统的自由度，判断系统的自由度，取广义坐标。取广义坐标。本题中，本题中，2k，取，取 12,q q为广义坐标，为广义坐标，1m2mRM1q2q2023年9月13日21计算系统的计算系统的T与与 jQF1 11221(2),TJm qqqqR222121 1222111()222qqTm qm qJR2212222(2),TJm qqqqR1(1)1FQWFq2222222qMm g qMRm gqR10Tq20Tq11111qMm g qMRm gqR2(2)2FQWFq则有则有122,Rqq12 2Rqq122,Rqq12 2Rqq1m2mRM1q2q2023年9月13
11、日22代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入代入 111ddQTTFt qq中，得中，得1 11212(2)JMm qqqm gRR(a)代入代入 222ddQTTFt qq中，得中，得22122222(2)JMm qqqm gRR(b)解方程，求加速度。解方程，求加速度。21(a)(b)2mm，得，得 122112221122(4)3(4)qqM mmgRm mRJ mmR m m1m2mRM1q2q2023年9月13日23二、势力场中的拉氏方程二、势力场中的拉氏方程 若主动力有势若主动力有势 则有则有 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数 注意到注意到jQ
12、jVFq jjjdTTVdtqqq VTL0jVq0 1,2,.jjdLLjkdtqq2023年9月13日24例例图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮与两轮心铰接。已知心铰接。已知 12312m,m,m,r,r,k,试求系统微振动微分方程及圆频率试求系统微振动微分方程及圆频率 。0kA1r1m g3m g2r2m gB2023年9月13日25222212333114422LTVm xm xm xkx1233322LmmmxxLkxx，代入拉氏方程代入拉氏方程 d0dLLtxx中，有中，有 系统自由度为系统自由度为1。取轮心。取轮心B沿斜面位移沿斜面位移x为
13、为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，位置时，系统的拉氏函数系统的拉氏函数:kA1r1m g3m g2r2m gBx2023年9月13日26与简谐振动微分方程与简谐振动微分方程 200 xx对比可知对比可知振动圆频率振动圆频率 01232332kmmm即即 12320332kxxmmm为所求微分方程。为所求微分方程。12333022mmmxkx2023年9月13日27 例例 与刚度为与刚度为 k 的弹簧的弹簧相连的滑块相连的滑块A，质量为，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。可在光滑水平面上滑动。滑块滑块A上又连一单摆，摆上又连一单摆，摆长长l，
14、摆锤质量为，摆锤质量为m2 ，试，试列出该系统的运动微分方列出该系统的运动微分方程。程。21222()cossin0mmxm lm lkxcos sin0 xlg答：答：2023年9月13日28例例如图所示，物如图所示，物A重为重为，物，物B重为重为，弹簧，弹簧刚度系数为刚度系数为k，其，其O端固定于物端固定于物A上，另一端与物上，另一端与物B相连。相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物A的加速度。的加速度。kAOB1G2G2023年9月13日29122121cosGGGLxxx
15、gg121()sinLGGxkAOB1G2G1x22212cosGGLxxxgg22Lkxx 22212112212121211 (221 2cos)()sin2GGxxxggx xGGxkx LTV2x解：系统处于势力场中，自由度为解：系统处于势力场中，自由度为2，取，取A的绝对位的绝对位移移，B的相对位移的相对位移 (弹簧的绝对伸长量弹簧的绝对伸长量)为广义坐为广义坐标。标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t,2x1x2023年9月13日30将以上各项代入下列拉氏方程将以上各项代入下列拉氏方程1122d0dd0dLLtxxLLtxx得得122
16、1212cos()sin0GGGxxGGgg(a)22212cos0GGxxkxgg(b)kAOB1G2G1x2x2023年9月13日31由式由式(a)和式和式(b)消去消去 1x，得，得 2202xxD(c)其中其中2121202221212()()sincos,(sin)sinkg GGGGgDG GGGG由式由式(c)解得解得2102020cossinDxCtCt由由 0t 时，时，220 xx，得，得 1220,0DCC故故220sin2(cos1)2Gxtk(d)kAOB1G2G1x2x2023年9月13日32将式将式(d)代入式代入式(c)，再将式，再将式(c)和和(d)代入式代入式(b)得得2210212sincossincossinAG gxgtaGG率为率为 。顺便指出，由式顺便指出，由式(c)和和(d)可知，物可知，物B相对于物相对于物A作在作在常力作用下的简谐振动，其振幅为常力作用下的简谐振动，其振幅为 2sin22G，固有频固有频02023年9月13日33kAOB1G2G1x2x思考：思考：本题中，本题中，a)如何求如何求A，B两物块所受光滑面的约束力两物块所受
