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1、第四章 系统的辅助设计系统设计的主要任務系统设计的主要任務:设计优化的控制器或某环节参数设计优化的控制器或某环节参数,使系使系统性能达到给定的性能指标统性能达到给定的性能指标.系统设计的主要方法:(1)基于经典控制论:根轨迹法、Bode图法(串联校正)、PID控制器 (2)基于现代控制论:极点配置法、线型二次型最优控制一.系统设计的MATLAB函数n MATLAB控制系统工具箱提供根轨迹法、极点配置法和线性二次型最优控制技术三种主要设计函数,可直接用于系统设计.n 通过MATLAB编程,可完成其他方法的系统设计.n (1)根轨迹法n n根轨迹图根轨迹图:描述了当系统开环增益由变化时，闭描述了当
2、系统开环增益由变化时，闭环特征根在复平面上移动的轨迹。环特征根在复平面上移动的轨迹。根轨迹法的根轨迹法的MATLAB函数：函数：rlocus、rlocfind 已知开环系统模型已知开环系统模型,绘制根轨迹图绘制根轨迹图rlocus:n sys：系统开环模型;R：闭环极点:n K：系统增益)(,)()(sysrlocusKRsysrlocusRsysrlocus系统增益 K函数RLOCFIND用于由给定闭环极点求解对应的开环增益大小.),(,)(,PsysrlocfindPOLESKsysrlocfindPOLESK 用户可用鼠标在根轨迹图上选定极点或设置极点两种方式。函数返回极点实际值 和开环
3、增益 值。KPOLES 函数 SGRID用来在根轨迹平面上绘制阻尼比和等固有频率网络，阻尼比从0.1至1.0间隔0.1；固有频率从 0 至 ，间隔。sec/1radsec/10radn n系统的根轨迹法设计n 基于根轨迹的系统设计通常有增益设计法和补偿设计法。n增益设计法是根据系统的性能指标，确定希望闭环的极点位置，然后求出对应的开环增益.n 系统性能和系统参数 及极点位置有明确的关系。设计时，期望极点位置应落在图4.3中阴影区域范围内。、nn n基于根轨迹的系统设计方法利用MATLAB进行基于根轨迹法的系统设计步骤如下：(1)建立系统开环模型；(2)根据系统动态性能要求，确定期望闭环极点位置
4、或其他参数(3)利用MATLAB根轨迹函数rlocus或 rlocfind求取系统开环增益K；(4)检验系统性能。【例4-2】已知单位反馈系统的开环传递函数为，求阻尼比 时系统的极点和对应的开环增益值。用编写程序和运行结果如下：%MATLAB PROGRAM 4-2sys=zpk(,0-3-1+i-1-i,1);rlocus(sys);sgrid;gain,poles=rlocfind(sys)22)(3()(2ssssKSG5.0selected_point=-0.3866+0.6965i gain=2.6600 poles=-2.7667 -1.4299 -0.4017+0.7148i -
5、0.4017-0.7148i检验系统的动态特性%MATLAB PROGRAM 4-3%old systemsys=zpk(,0-3-1+i-1-i,1);%New systemsys_new=zpk(,-2.7667-1.4299-0.4017+0.7148i-0.4017-0.7148i,2.6600);step(sys_new);(2).极点配置法 n n 极点配置法是基于现代控制论的系统设计方法.闭环系统的性能取决于闭环系统的极点分布。极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使闭环系统特性满足要求。基于状态反馈的极点配置法要用系统的状态空间模型。状态反馈系统
6、原理图图中，K是一个与X同维的向量X=x1x2xnK=K1,k2,k3,knuU=R-KXBuAXX假设原系统的状态空间模型为若系统是完全能控的，则可引入状态反馈调节器状态反馈调节器，且 KXRu这时，闭环系统的状态空间模型为:CXYBRBKAX)(设计任务是要计算反馈 ，使 的特征值 和期望的极点 相同.KBKAPn n极点配置的MATLAB函数n 函数ACKER是基于Ackermann算法求解反馈增益K。n其中，A,B为系统矩阵；P为期望极点向量；K为反馈增益向量。),ker(PBAacK 函数PLACE用于单输入或多输入系统，在给定系统(A,B)和期望极点P配置情况下，求反馈增益 K),
7、(,),(PBAplacemessageprecKPBAplaceK 为实际极点偏离期望极点位置的误差；是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出警告信息。ecPrmessagen n基于基于极点配置的系统设计方法n利用MATLAB进行基于极点配置法的系统设计步骤如下：n(1)获得系统状态空间模型；n(2)根据系统动态性能要求，确定期望极点分布P；n(3)利用MATLAB极点配置设计函数PLACE或 ACKER求取系统反馈增益K；n(4)检验系统性能。n n系统设计例n【例4-9】系统传递函数为n，通过状态反馈使系统闭环极点配置在n n 位置上，求反馈增益K。)12)(6(1)(ssss
8、Gi07.707.7,100%MATLAB PROGRAM 4-12%The original system:sys=zpk(,0,-6,-12,1);%The desired poles:P=-100,-7.07+7.07i,-7.07-7.07i;%Convert system model to state spacesys=ss(sys);A,B,C,D=ssdata(sys);disp(Feedback gain:)K=acker(A,B,P)%New open loop system:%=sysopen=ss(A,B,K,0);%New closed-loop system:%=sy
9、sclose=ss(A-B*K,B,C,D);disp(Poles of new closed-loop system:);poles=pole(sysclose)step(sysclose/dcgain(sysclose),2);amp412 Feedback gain:K=1.0e+003*6.5375 0.0961 0.2883 Poles of new closed-loop system:poles=-7.0700+7.0700i -7.0700-7.0700i-100.0000(3)线性二次型最优控制设计线性二次型最优控制设计n 线性二次型最优控制设计是基于状态空间原理设计一个优化
10、的动态控制器。系统模型是用状态空间形式给出的线性系统，其目标函数是对象状态和控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。n n线性二次型最优控制(LQ)问题假设线性系统状态空间方程为要寻求控制最小.式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称常数矩阵；Q,R分别为X和u的加权矩阵。BuAXX0)(dtRuuQXXJTT使二次型目标函数)(tu 根据极值原理，我们可以导出最优控制律 式中，矩阵P必须满足黎卡提 代数方程：线性二次最优调节器的另一种二次型目标函数具有交叉项KXPXBRuT1*01QBPPBRPAPAT为最优反馈增益矩阵。K)(Ri
11、ccati0)2(dtXNuRuuQXXJTTn n线性二次型调节器的设计 线性二次调节器的设计步骤如下：(1)解式(4.5-4)方程，求得矩阵P。若所求出P为正定矩阵，则系统是稳定的。(2)计算反馈增益矩阵K (3)在线的线性二次型最优控制Riccati)()(tKXtuPBRKT1n n线性二次型调节器设计的MATLAB函数n函数LQR（Linear-quadratic regulator）用于计算连续状态空间方程n n二次型控制的最优反馈矩阵K。其状态反馈控制律为n u=KXn调用格式为nA,B 系统矩阵 Q,R,N 为目标函数矩阵 K 最优反馈增益DuCXyBuAXX),(,),(,N
12、RQBAlqrEPKRQBAlqrEPKn n线性二次型调节器的设计例【例4-13】设系统状态空间表达式为 二次型性能指标为 BuAXX0,001,100,20126100010DCBA0)2(dtNuXRuuQXXJTTT100,1,10101NRQ若取设计LQ控制器.%MATLAB PROGRAM 4-16A=0 1 0;0 0 1;-6-12-20;B=0 0 1;Q=diag(1 1 1);R=1;N=0 0 1;K,P,E=lqr(A,B,Q,R);KKn,Pn,En=lqr(A,B,Q,R,N);Kn K=0.0828 0.1956 0.0348Kn=0.0828 0.1896 1
13、.0090 二.系统仿真分析设计实例PID调节器,串联补偿校正n-直流电机转速控制直流电机转速控制n直流电机常作为控制元件使用，它可直接提供一个旋转运动。直流电机工作原理图如图4.29所示.n假设系统物理参数如下：n转子转动惯量 ，机械阻尼参数 电流力矩常数 ，电枢电阻 ，电枢电感 ，转子与轴为刚性连接。22/01.0smKgJsmNb1.0AmNK/01.01RHL5.0us2%5%1srad/1 以供电电压 为输入，转子转速 为输出。在稳态输出为 情况下，系统单位阶跃响应性能指标：调整时间小于 ，超调量小于 ，稳态误差小于 。设计要求：(一).系统建模直流电机转矩和电枢电流关系为电枢旋转产
14、生反电动势与旋转运动角速度的关系为 iKTt eKe为简化起见，令 KKKet由牛顿定律，转子力矩平衡关系为 KibJ由克希霍夫定律 KuRidtdiL设系统状态 并建立以输入电压 为输入，转速 为输出的系统状态空间表达式为,iXu0110CLBLRLKJKJbAYiXCXYBuAXX，(二)检验系统的瞬态性能看是否达到设计要求。用编写程序如下：%Modelng DC motorJ=0.01;b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5;A=-b/J K/J -K/L -R/L;B=0 1/L;C=1 0;D=0;sys=ss(A,B,C,D);sys=tf(sys)%Step respons
15、e of the open system%=step(sys)amp422Transfer function:2-s2+12 s+20.02 由阶跃响应曲线可见，对系统加电压，马达仅达到的最大转速，且达到这个速度需要3秒，这些都不满足期望的性能要求。(三)设计一个PID控制器校正系统性能PIDPID控制器的数学模型PID控制器传递函数为sKsKsKsKsKKsGipddipc2)(PID控制器的功能 比例环节：Kp增大等价于系统的开环增益增加，会引起系统响应速度加快，稳态误差减少，超调量增加。当Kp过大时，会使闭环系统不稳定；积分环节：相当于增加系统积分环节个数，主要作用是消除系统的稳态误差。
16、积分环节作用的强弱取决于积分时间常数Ti，Ti增大，系统超调量变小，响应速度变慢；微分环节：主要作用是提高系统的响应速度，同时减少系统超调量，抵消系统惯性环节的相位滞后不良作用，使系统稳定性明显改善。Td偏大或偏小，都会使超调量增大，调整时间加长。由于该环节所产生的控制量与信号变化速率有关，故对于信号无变化或变化缓慢的系统微分环节不起作用。PID设计控制器设计设计控制器设计是寻找优化的参数,通常采用试凑法.步骤如下：(1)先考虑 控制，不考虑积分和微分。若 令 进行仿真，阶跃响应超调和稳态误差均较大.(2)采用 ，加入积分项,减小稳态误差.取 进行仿真，系统稳态误差明显减小.(3)采用 ，再加入微分项，减小超调.取 取 ，进行系统仿真，得到满意动态特性。用编写仿真程序和运行结果如下：P11100dipKKK，PI1200100dipKKK，PID10200100dipKKK，PID设计的MATLAB仿真程序%Model of DC motorJ=0.01;b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5;A=-b/J K/J;-K/L -R/L;B=0;1/L;C=1 0;D=0;sys=
