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1、切割线定理（北京习题集）（教师版）一.选择题（共8小题）1. （201。秋平谷区期末）如图，点C、。在线段4B上，且AC=Co=OB=5,过点4作以BC为直径的00切线，D为切点,则4。的长为（）A.5B.6C.YD.102.（2008朝阳区二模）如图，从点P向0引两条切线PA,PB,切点为4,8,BC为0。的直径，若，P=60,PA=3,则0。的直径BC的长为（）3A.2B.3C.3D.4，3.（2003西城区模拟）如图,P4切00于点4,PBC是OO的一条割线，且P4=23,BC=2PBf那么P8的长为（）A.2B.yjhC.4D.264.（2003海淀区模拟）如图，割线P4B交G）O于4
2、、B两点，且PA：4B=2:1,P。交。于C,PC=3f0C=2f则PA的长为（A.3.、T4C.八D.T5.（2002朝阳区）已知：如图，OO半径为5,PC切G）O于点C,Po交0。于点A,PA-4,那么PC的长等于（）a.6B.2,5c210d2146（2000西城区）如图，P4切G）O于点A,PBC是0。的割线，如果PB=2,PC=8f那么PA的长为（）A.2B.4C.6D.八，7.（2000朝阳区）如图，P是G）O外-点，PABPCD是0。的割线.如果P4=4,AB-2tPC=CDf那么P。的长为（）Ra.6B.2,3c33D4,Sg（1999北京）如图，P4切。于点4,PBC是C）O
3、的割线，且PB=8C,如果P4=3M,那么BC的长为（）CKPA.32B.3C.73D.2y3二填空题（共1小题）9 .（2004北京）如图，48为0的直径，P为4B延长线上一点，PCOOfCt若PB二2,AB-6f则PC三.解答题（共4小题）10 .（2010秋昌平区校级月考）如图，已知：48是G）O的直径，4C是切线，4为切点，BC交0。于点0,切线OE交4C于点.求证：AE=ECtU.（2003北京）己知：在A48C中，40为/.840的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交4E于点M,且FE:FO二4:3.（1）求证：AFDF.（2）求z4E0的余弦
4、值；（3）如果BD=IO,求AABC的面积.12 .（2000海淀区）如图，PC为00的切线，C为切点，PAB是过。点的割线,CDUB于点。，若SnB=ZPC=IoCn求ABC。的面机13 .（1998东城区）如图,设0的半径为8,过圆外一点P引切线P4,切点为A,PA6,C为圆周上一动点，PC交圆于另一点B,设PC=X,PB-yf且y.（1）试求：V关于X的函数解析式，并求出自变量X的取值范围；4coszOPC=三-（2）若5时，求X的值.切割线定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一.选择题（共8小题）1 .（2010秋平谷区期末）如图，点C、在线段48上，且4C-CO=OB=5,
5、过点4作以BC为直径的0。切线，D为切点,则4。的长为（）【分析】利用切割线定理得到402=4O4B,而4C=5,4D=4C+C0+CB=15,代入计算可以求出AD的长.【解答解：“是0。的切线，ACB是0。的割线，.AD2=ACAB又AC二5,4B=AC+C0+0B=15,D=5x15=75。=5何（4D=不合题意舍去）故选：C.【点评】本题考查的是切割线定理，利用切割线定理列出等式，然后把4C,4B的长代入计算求出线段40的长.2 .（2008朝阳区二模）如图，从点P向0引两条切线P4,PB,切点为A,B,BC为OO的直径，若，P=60,P4=3,则C）O的直径BC的长为（）3A.23b3
6、C.3D.4,3【分析】连接OP,根据切线长定理得PB=PA=3,ZOPB=30。.在直角APB中根据三角函数可求得B的长，从而得到圆的直径.【解答】解：连接OP.。B-PB=PA=3fzOPB=30o,tanl0PB=PB,：,0B=B圆的直径是2J3【点评】此题主要考查切线长定理的应用，比较简单.3. （2003西城区模拟）如图，P4切O于点4,PBC是G）O的一条割线，且P4=27, BEPB,那么PB的长为（则PC3x,根据切割线定理得A.2B.历C.4D.2J6【分析】设PBX,PA?二PBPC,从而可求得P8的长.【解答】解：设PB=X,则PC=3x,-PA2=PBPCfPA=BC
7、=2PB,x3x-12,=2.【点评】此题考查切割线定理的运用.4. （2003海淀区模拟）如图,割线P4B交O0于4、B两点，且PA:AB=2:1,PO交G）O于C,PC=3,0C=2t则P4的长为（a.式3b彳c.26dJ16【分析】延长Po交圆于0,根据割线定理列方程求解即可.【解答】解：设48=x,则PB=3x,延长Po交圆于0.“APB-POPD,PC=3,OC=Z,2x3x=21,PA=2x=414故选：B.【点评】此题主要通过作辅助线构造割线，再根据割线定理进行计算.5. （2002朝阳区）已知：如图,0。半径为5,PC切G）。于点C,P0Q0,P4 = 4,那么PC的长等于（A
8、.6B.C.2丫1D.八14【分析】延长40交OO于8,由切割线定理可PC2三PAPBt进而求出PC的长.【解答】解：延长40交G）于B,则4B二204二10；由切割线定理得：PC2=P4PB;则有：PC2=4（10+4）=56,PC=214解得：Y；故选：.【点评】此题主要考查的是切割线定理的应用.6.（2000西城区）如图,P4切O0于点4,PBC是C）。的割线,如果PB=2,PC=8,那么PA的长为（A.2B.4C.6D.2/3【分析】已知了PB、PC的长，由切割线定理可得P42=PBPC,进而可求出P4的长.【解答】解：,*4切。于点4,PBC是0。的割线,P2=PBPC=16,即P4
9、=4；【点评】此题主要考查的是切割线定理.7.（2000朝阳区）如图,P是O0外点,P4B、PCo都是00的割线.如果PA=4,Y4B=2,PC=CD,那么PD的长为（）KyA.MB.2/3c33D43分析先设PCr,再根据切割线定理的推论,可得关于X的方程，解出X,又由于PC=,所以再求P=2x即可.【解答】解：Cr,那么PD=PC+DC=2x,根据推论可知,PCPD二PAPB,.2x=4(4+2)X=2y3,PD=4I故选：O.【点评】切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.8. （1999北京）如图，P4切。0于点4,PBC是。0的割线，
10、且PB=BC,厂如果P4=32,那么BC的长为（）4J、pA.3V23C.6D.23【分析】设BC=x.根据切割线定理PA2=PBPCf可得列方程求解.【解答】解：设BCx.P4切。0于点A,PBC是00的割线，.PA2PBPCt即x2x=18,x=3（负值舍去），即BC=3.故选：B.【点评】此题主要是考查了切割线定理.二.填空题（共1小题）9. （2004北京）如图,PCO0Cf若PB:2,AB-6f则PC-4.【分析】由已知可求得PA的长，再根据切割线定理得PC2=P8P4,即可求得PC的长.【解答】解：PB-2,AB-6fPA=PB-AB-8.B为O。的直径，P为4B延长线上一点，PC
11、切0。于C,则。二8一。4可得=4.【点评】此题考查了切割线定理的运用.解答题（共4小题）10. （2010秋昌平区校级月考）如图，己知：4B是0的直径，4C是切线，4为切点，BC交C）O于点O,切线DE交4C于点E.求证：AE-EC,7oi【分析】连接40,根据直径所对的圆周角是直角，即可证得AADC是直角三角形，再根据切线长定理即可证得4E=DE,只要再证得E=EC即可.【解答】解：如图，连接,-AB是圆的直径.，44。8二90,则，4。=90./.04。+，。=90./E,OE是圆的切线.,4=。04=，40又，04+/.。一，4。+，0。=90Ox：乙EDC=ECiDE二EC：AE=E
12、Cc【点评】本题主要考查了切线长定理以及等腰三角形的判定定理，正确求证DE二EC是解决本题的关键.H.（2003北京）已知：在A4BC中，40为，840的平分线，以C为圆心，CO为半径的半圆交BC的延长线于点E,交4。于点F,交4E于点M,lB=CAE,FE:Fo=4:3.求证：AF=DFi（2）求，4的余弦值;如果BD-10,求AABC的面积.MB【分析】欲证4F=DF,可以证明A4EF占ADEF得出；(2)求，的余弦值，即求ME：DM,由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出；(3)根据AABC的面积公式求出BC,4N的长是关键，根据题意由三角函数及相似比即可求出.【解答】(1)证明
13、：平分，84。.，840二，。4(.28=，(?4BADB=DAC-CAE9tADE=BADB:、LKDE=LDAE.EA=ED.DE是半圆C的直径.zDFE-9004F=DF(2分)(2)解：连接OMOE是半圆C的直径.，0时=90./:广0=4:3可设尸=48,则FO=3x.D=5xE二阵5x,AF=FD=3-AFADAMAE-u.183x(3x+3x)=AM5xM=m87ME=AE-AM=Sx-a11lxr55在RtRDME中,7iMESx7cosEO=nc-c=Y亡DE5x25（5分）724A4iflnrcoszlED=r三-sinZi4ED=r三-解：过4点作ANLBEM25254M
14、-24X-24.4NFAE-丁X在ASE和AABE中AECE1.AEC-BEA.ClE-i4EBE=lE.AE2=bc，（5x）2=（10+5x）%,x=2N=9x=BC=BDDC=10+2=15SMBC=4bC4N=枭15x半=72/Lb（8分）.【点评】本题考查相似三角形的判定，切割线定理，勾股定理，圆周角定理等知识点的综合运用.12.（2000海淀区）如图，PC为G）O的切线，C为切点，PAB是过。点的割线，CDUB于点。若WB=ZPC=IOcm,求ABCD的面积.paboJb【分析】连接4C,由弦切角定理知，PC4-/.B,易证得APCAAPBC,得PCtPB-ACiABf而4C:AB正好是tanB,由此可求出PB的长，进而可由切割线定理求出PA的长，也就得到了48的长；在RtAACB中，易证得ZJICD=那么tanB
