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1、4.3 4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数一一 协方差协方差，引引入入提提供供了了一一些些信信息息，为为此此之之间间的的联联系系和和该该值值对对即即存存在在某某种种联联系系，因因此此不不独独立立，和和，则则若若相相互互独独立立时时，和和当当，者者之之间间联联系系的的数数字字特特征征还还需需进进一一步步考考虑虑描描述述两两的的均均值值和和方方差差，和和已已知知对对于于二二维维YXYX0E(Y)-E(X)Y-EX0,E(Y)-E(X)Y-EX YXYX,Y)r.v.(X,ijiiijPE(Y)-yE(X)-xY)Cov(X,P,r.v.Y)(X,(1)ijjiyyxxP为为离离散散型型二二维
2、维设设1 定义定义2 协方差的计算协方差的计算:归结为计算归结为计算Eg(X,Y)E(Y).-E(X)Y-EXY)Cov(X,Y)Cov(X,YX,E(Y)-E(X)Y-EX ,r.v.Y)(X,XY 即即或或记作记作的协方差的协方差和和则把它称作则把它称作存在存在若若为二维为二维设设 dxdyyxfYEyXExyxf,)()(Y)Cov(X,r.v.Y)(X,(2)密密度度函函数数为为为为连连续续型型二二维维设设(i)Cov(X,X)=D(X)自协方差自协方差 )()()()()(Y)Cov(X,(3)YEXEXYEXEYXEXE 常常用用公公式式Y)ov(X,2)()()(CYDXDYXD
3、 )()()(21Y)ov(X,)()()(21Y)ov(X,YXDYDXDCYDXDYXDC (ii)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).独立独立与与YX0),cov(YX(iii),)(.EYYEXXRvr 记记0 R),(EYYEXX ),(EYYEXX 0 R),(EYYEXX ),(EYYEXX 因此，因此，EYYEXX 与与若事件若事件)(EYYEXX 与与有较大有较大概率同时发生，概率同时发生，总体而言，总体而言，,0 ERR的平均值的平均值应有应有;0),cov(YX即即.0),cov(YX反之则有反之则有所以，所以，是对事件是对事件),cov(YX)EXXEXX
4、（或（或与事件与事件)(EYYEYY 或或之间联系的一种度量，之间联系的一种度量，从而也反映了从而也反映了系。系。协同变化的一种内在联协同变化的一种内在联YXvr,.对协方差对协方差Cov(X,Y)的解释：的解释：),Cov(3131,1321232112321 求求：，令令方方差差相相互互独独立立，具具有有相相同同的的：设设随随机机变变量量例例XXXXXXXXXXX 321321231231XXXXXX ，解解：232132)()()(491)(XDXDXDD 232132)()(4)(91)(XDXDXDD232)(D231),(Cov3 协方差的性质协方差的性质:10 Cov(X,Y)=
5、Cov(Y,X);30 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其中其中 a1,a2,b1,b2是常数是常数;40 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);50|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);60 若若X,Y相互独立相互独立,则则Cov(X,Y)=0.20 Cov(X,C)=Cov(C,X)=0不等式）：不等式）：Schwarz-(Chachy的方差都存在，的方差都存在，设设YXvr,.222)(EYEXXYE 则有：则有：2),cov(YX2)(EYYEXXE 2)(EXXE 2)(EYYE DXDY 证证明明：的的二二次次函函数数考
6、考虑虑实实变变量量 t2)()(YtXEtg 222)(2EYXYtEEXt ,Rt ,0)(tg均均有有,04)(2222 EYEXXYE.)(222EYEXXYE 即即()50的证明的证明的相互联系，的相互联系，在一定程度上反映了在一定程度上反映了YXvrYX,.),cov(本身数值大小的影响，本身数值大小的影响，但其数值受到但其数值受到YX,是带是带即即),cov(YX量纲的，量纲的，相关性一个明显缺陷。相关性一个明显缺陷。表示表示这是用这是用YXvrYX,.),cov(标准化标准化为此，将为此，将YX,DXEXXX DYEYYY ),cov(YX再以再以量：量：之间相互联系的一种度之间
7、相互联系的一种度作为作为YX,),cov(YX,cov(DXEXX )DYEYY DYDXEYYEXX),cov(DYDXYX),cov(二二 相关系数相关系数，设设0,0 DYDX则称则称存在，存在，),cov(YXDYDXYX),cov(的相关系数，的相关系数，与与为为YX,XY 记作记作即即 XY DYDXYX),cov()(EYYEXXE 2)(EXXE 2)(EYYE 的协方差，的协方差，就是标准化后的就是标准化后的 YXvrXY,.无量纲，无量纲，YX,的分布中心移至原点，的分布中心移至原点，它将原来的它将原来的.vr不使中心偏左或偏右，不使中心偏左或偏右，轴轴，再再缩缩小小（或或
8、扩扩大大）坐坐标标，使分布不至过疏或过密使分布不至过疏或过密从而使从而使的性质显露出来，的性质显露出来，原原.vr准确地刻画准确地刻画因此，相关系数能更加因此，相关系数能更加间的相关关系。间的相关关系。.vr定义：定义：定理说明了相关系数定理说明了相关系数 XY 刻划了刻划了X,Y之间的线性相关关系之间的线性相关关系,当当 XY=0时时,我们称我们称X,Y不相关不相关.(这里是指它们之这里是指它们之间没有线性相关关系间没有线性相关关系.)1;1 :,YXXY0XY 则则有有的的相相关关系系数数和和是是随随机机变变量量设设 0.a ,b a,1,baXYP ,1Y X1 2XY0 且且为为常常数
9、数其其中中即即线线性性相相关关以以概概率率和和 定理定理1：由由|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y),0(abaXY若若时，时，则则0 a;1 XY 时，时，0 a.1 XY 证明证明),cov(YX)(EYYEXXE )(EXXE )(baXEbaX 2)(EXXaE aDX)(baXDDY DXa2 XY DYDXYX),cov(|aa 0011 aa20的证明的证明).()()(4);()()(3 0;Y)Cov(X,2 Y X1 :YX2 0000YDXDYXDYEXEXYE 不不相相关关；和和，下下列列命命题题等等价价和和：对对于于随随机机变变量量定定理理0Y)Cov(X,0 2
10、1 XY00 证证明明：0E(X)E(Y)-E(XY)0Y)Cov(X,3 2 00 D(Y)D(X)Y)D(X 0Y)Cov(X,Y)2Cov(X,D(Y)D(X)Y)D(X 4 2 00 :3逻逻辑辑关关系系：不不相相关关与与相相互互独独立立的的定定理理;Y X,X,Y a.不不相相关关则则相相互互独独立立若若;b.上上面面的的逆逆命命题题一一般般不不真真.(y).(x)ffy)f(x,0)Y,X(Cov,0,1yx ,1y)f(x,(X,Y)r.v.,YX22 但但其其其其它它的的密密度度函函数数是是二二维维反反例例逆逆命命题题亦亦成成立立服服从从二二维维正正态态分分布布时时当当,(X,
11、Y)c.例例1.设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求X和和Y的相关系数的相关系数.率率密密度度为为的的边边缘缘概概已已经经知知道道前前面面在在第第三三章章的的例例子子中中解解)Y,X(:,e21)x(f21212)x(1X ,e21)y(f 22222)y(2Y .D(Y),D(X),)Y(E,)X(E222121 故知故知,y,x-y)dxdy)f(x,-)(y-(xY)Cov(X,21-而而dudt)eutu1(21-2t2u22122122 故故其中其中 xu ,x-y-11t 1111222 )dtte)(duue(2-1 )dte)(dueu(2)Y,X(Cov2t2
12、u2212t2u2212222 .222 2121 XY由第三章我们曾证明过的一个命题由第三章我们曾证明过的一个命题,设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,则则X,Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是=0.知知X与与Y不相关与不相关与X和和Y相互独立是等价的相互独立是等价的.例例2.(26题题)otherwiseyxyxyxfYX020,20)(81,),(的的概概率率密密度度设设 otherwisexxdyyxdyyxfxfX020)1(41)(81),()(:20解解)(),(),(,)(YXDYXCovYEXEXY 和和求：求：otherwiseyyyfY020)1(41
13、)(同理同理67)1(41)(20 dxxXE67)1(41)(20 dyyYE34)(8)(2020 dxdyyxxyXYE22022267)1(4)()()(dxxxXEXEXD361167352 3611)(YD361676734)()()(),(YEXEXYEYXCov111)()(),(YDXDYXCovXY 22)()()(YXEYXEYXD 222)()()()(2)(YEXEYEXYEXE 95:5例例),9,2(NX已知已知.4,2 UY求：求：);32()1(YXD).,cov()2(YXYX ,5)(XYE:解解,2 EX,9 DX,1 EY,3 DY)1(),cov(Y
14、XEXEYXYE)(3 )32(YXDDX4DY9),cov(12YX 27),cov()2(YXYX )(,cov(YXX )(,cov(YXY ),cov(),cov(YXXX ),cov(),cov(YYXY DYDX 6 补充：补充：例例6 .,0,10,8),(),(elseyxxyyxfYX设设).var(),cov(YXYX 计算计算解：解：EX dxdyyxxf),(xyo11 10dx 18xxydyx185 EY dxdyyxyf),(10dx 18xxydyy54)(XYE dxdyyxxyf),(10dx 18xxydyxy94),cov(YX)(XYE EXEY 22
15、54 7例例的分布律为的分布律为设设XXP1 01313131,2XY 的独立性。的独立性。与与并讨论并讨论求求YXXY 解解易得易得0 EX322 EXEY0)(3 EXXYE0)(),cov(EXEYXYEYX则则，0 XY 不相关。不相关。与与即即YX0 YP02 XP31 0 XP0,0 YXP31 0 XP0,0 YXP0 XP0 YP 不独立。不独立。与与故故YXXY1 01103131313132313131000本例说明：本例说明：不相关的随机变不相关的随机变)1(量不一定独立；量不一定独立；不相关不是没有不相关不是没有)2(系。系。关系，而是没有线性关关系，而是没有线性关,sin8 X，：又又上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量是是设设例例。YXY间的相关系数间的相关系数与与试求试求,cos ,0sin21xdx：EX解解 0cos21xdxEY ,21sin2122xdxEX ,21cos2122xdxEY 0cossin21xdxxEXY这时这时0)(),cov(EYEXXYEYX于是于是0),cov(DYDXYX 即即X与与Y不相关不相关,122 YX但显然有但显然有。，YX故不独立故不独立但有其它的函数关系但有其它的函数关系没有线性关系没有线性关系,
