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1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点随机事件的概念随机事件的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用2.难点难点古典概型的概率计算全概率公式的应用古典概型的概率计算全概率公式的应用二、主要内容二、主要内容随机随机现象现象随机随机试验试验事件的事件的独立性独立性随随 机机 事事 件件基基本本事事件件必必然然事事件件对对立
2、立事事件件概概 率率古典古典概型概型几何几何概率概率乘法乘法定理定理事件的关系和运算事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性性质质定定义义条件条件概率概率不可能事件不可能事件复复合合事事件件);()1(1B品品只有第一个零件是合格只有第一个零件是合格);()2(2B件是合格品件是合格品三个零件中只有一个零三个零件中只有一个零);(,)3(3B个次品个次品一一但后两个零件中至少有但后两个零件中至少有第一个是合格品第一个是合格品三、典型例题三、典型例题:)3,2,1(,)3,2,1(,3表示下列事件表示下列事件试用试用个零件是合格品个零件是合格品生产的第生产的第表示他表示他以
3、事件以事件个零件个零件一个工人生产了一个工人生产了 iAiiAii例例1解解;)1(3211AAAB ;)2(3213213212AAAAAAAAAB);()3(3213AAAB,)4(3214AAAB ;3214AAAB 或或,)5(3215AAAB .3215AAAB 或或说明说明 一个事件往往有多个等价的表达方式一个事件往往有多个等价的表达方式.).()5(5B三个零件都是次品三个零件都是次品);()4(4B个合格品个合格品三个零件中最多只有两三个零件中最多只有两例例2.,2,1)2(.32,21,4,3,2,18)1(求恰有一只空盒的概率求恰有一只空盒的概率只盒子中去只盒子中去的的只球
4、随机地放入编号为只球随机地放入编号为将将只球的概率只球的概率号盒子恰有号盒子恰有只球只球号盒子恰有号盒子恰有试求试求盒子中去盒子中去的四只的四只只球随机地放入编号为只球随机地放入编号为将将nnn解解.”32,21“)1(这一事件这一事件只球只球有有号盒子恰号盒子恰只球只球号盒子恰有号盒子恰有记记以以 A123444444444数为数为样本空间中样本点的总样本空间中样本点的总,44448 ,236283 所包含样本点的总数为所包含样本点的总数为A83423628)(AP于是于是.51235.”“)2(这一事件这一事件一只空盒子一只空盒子恰有恰有记记以以 B.,nnnn总数为总数为则样本空间中样本
5、点的则样本空间中样本点的样本点样本点为一个为一个个盒子中的一种放法作个盒子中的一种放法作只球放入到只球放入到将将所包含样本点的个数为所包含样本点的个数为B,)!2(2111 nnnn.)!2(2111)(nnnnnnBP 于是于是.,6.0,7.0率率少有一次命中目标的概少有一次命中目标的概试求两次独立射击至试求两次独立射击至射击命中目标的概率为射击命中目标的概率为这时这时内的概率为内的概率为假设目标出现在射程之假设目标出现在射程之思路思路 引进事件引进事件;目标进入射程目标进入射程 A.2,1,iiBi次射击命中目标次射击命中目标第第.,21用全概率公式来求解用全概率公式来求解可利可利因此因
6、此命中目标的命中目标的不在射程之内是不可能不在射程之内是不可能由于目标由于目标的概率的概率故所求概率为事件故所求概率为事件BBB 例例3解解由题意知由题意知)2,1(,6.0)(,7.0)(iABPAPi,0)(表示目标不在射程之内表示目标不在射程之内因为因为由于由于ABAP 有有因此由全概率公式因此由全概率公式,)()()()(ABPBAPABPBP )()(ABPAP),()(21ABBPAP,21相互独立相互独立与与由题意知由题意知BB 由加法公式得由加法公式得)(21ABBP)()()(2121ABBPABPABP .36.06.06.0 )()()(2121ABPABPABBP 从而
7、从而36.06.06.0 .84.0)()()(21ABBPAPBP 故故84.07.0 .588.0.,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(p的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区
8、有关,故此故此题要用全概率公式来讨论题要用全概率公式来讨论.例例4解解;3,2,1,iHi抽到地区考生的报名表抽到地区考生的报名表记记,2,1,jjAj次抽到报名表是男生的次抽到报名表是男生的第第;107)();3,2,1(31)(11 HAPiHPi则有则有.2520)(;158)(3121 HAPHAP由全概率公式知由全概率公式知)1(3111)()()(iiiHAPHPAPp 25515710331.9029,)()()()2(22121APAAPAAPq 由全概率公式得由全概率公式得 312121)()()(iiiHAAPHPAAP,)(313121 iiHAAP又因为又因为,3079
9、7103)(121 HAAP,308148157)(221 HAAP.3052420255)(321 HAAP,9230530830731)(21 AAP所以所以)()()(2312iiiHAPHPAP 而而 312)(31iiHAP,9061252015810731 )()(221APAAPq 所以所以.6120906192 1A2A5A4A3A.),5,2,1(),(5求此系统的可靠性求此系统的可靠性的可靠性为的可靠性为件件设元设元如图所示如图所示个元件组成个元件组成桥式电路系统由桥式电路系统由 ipAii思路思路 为了求系统的可靠性为了求系统的可靠性,分两种情况讨论分两种情况讨论:.,)
10、1(43215并联电路再串联而得并联电路再串联而得与与并联并联相当于相当于工作正常时工作正常时当当AAAAA例例5.,)2(42315串联电路进行并联而得串联电路进行并联而得串联再与串联再与相当于相当于失效时失效时当当AAAAA解解,5,2,1,iABii正常工作正常工作元件元件记记.系统正常工作系统正常工作 C从而由全概率公式知从而由全概率公式知).()()()()(5555BCPBPBCPBPCP )()()(43215BBBBPBCP 而而),1)(1(1)1)(1(14321pppp )()(42315BBBBPBCP),1)(1(14231pppp 所以所以)1)(1(1)1)(1(
11、1)(43215pppppCP ).1)(1(1)1(42315ppppp 例例6.53,2,100,2,1 整除的概率整除的概率或或求它能被求它能被整除整除到的数不能被到的数不能被已知取已知取中随机地取一个数中随机地取一个数在数集在数集解解,5,3,2,532整除整除分别表示取到的数能被分别表示取到的数能被以以AAA所求概率为所求概率为)()()(2253253APAAAPAAAP.)()()()(22532523APAAAPAAPAAP )()(2323ASAPAAP 而而).()(233AAPAP ,623整除”整除”表示事件“能被表示事件“能被因因AA.10016)(23 AAP故故1
12、001610033)(23 AAP于是于是.10017 同样同样)()(2525ASAPAAP )()(255AAPAP .100101001010020 )()(253253ASAAPAAAP )()(25353AAAPAAP .100310031006 .25122110031017 p故故注意注意).()()(BPAPBAPAB 时才有时才有只有当只有当例例7 据以往的资料据以往的资料,一位母亲患某种传染病的概一位母亲患某种传染病的概率为率为0.5,当母亲患病时当母亲患病时,她的第她的第1个个,第第 2个孩子患病个孩子患病的概率均为的概率均为0.5,且且2个孩子均不患病的概率为个孩子均不
13、患病的概率为0.25,当母亲未患病时当母亲未患病时,每个孩子必定不患病每个孩子必定不患病.(1)求第求第 1 个个,第第 2 个孩子未患病的概率个孩子未患病的概率.(2)求当第求当第 1 个孩子未患病时个孩子未患病时,第第 2 个孩子未患病个孩子未患病的概率的概率.(3)求当两个孩子均未患病时求当两个孩子均未患病时,母亲患病的概率母亲患病的概率.解解.2,1,21个孩子未患病”个孩子未患病”记事件“第记事件“第以以孩子未患病”孩子未患病”个个记事件“第记事件“第以以记事件“母亲患病”记事件“母亲患病”以以NNC,5.0)()(,5.0)(21 CNPCNPCP已知已知.1)(,1)(,25.0
14、)(2121 CNPCNPCNNP)()()()()()1(111CPCNPCPCNPNP 5.01)()(11 CPCNP.75.0.75.0)()(12 NPNP.)()()()2(12112NPNNPNNP)()()()()(212121CPCNNPCPCNNPNNP ,625.0.6575.0625.0)(12 NNP于是于是)()()()()3(212121NNPCPCNNPNNCP 625.05.025.0 .2.0 注意注意),()()(,212121CNPCNPCNNPCNN 即即发生的条件下是独立的发生的条件下是独立的在事件在事件在这里在这里).(65)(,21221NPNN
15、PNN 因为因为是不独立的是不独立的但在无条件的情况下但在无条件的情况下 1 已知已知A,B满足满足 求求P(B)2 在装有号码在装有号码1,2.N的箱子中有放回地取的箱子中有放回地取n次次 依次记下号码依次记下号码,求这些号码按严格上升求这些号码按严格上升 次序排列的概率次序排列的概率?3 在区间在区间(0,1)内任取内任取2个数个数,求两数之和大于求两数之和大于1/4,小小于于6/5的概率的概率?4 盒子中有盒子中有12个乒乓球个乒乓球,其中其中9个是新的个是新的,第一次比第一次比赛取出赛取出3个用个用,赛后放回赛后放回,第二次再取第二次再取3个个,求第二次求第二次取出的都是新球的概率取出的都是新球的概率?如果第二次取出的全是新如果第二次取出的全是新球球,求第一次取出的都是新球的概率求第一次取出的都是新球的概率?,)(),()(pAPBAPABPNn 5 一道选择题有四个答案一道选择题有四个答案,其中仅有一个是其中仅有一个是正确的正确的,假设一个学生知道正确答案及不知假设一个学生知道正确答案及不知道正确答案而乱猜的概率都是道正确答案而乱猜的概率都是1/2,(乱猜就是乱猜就是任选一个答案任选一个答案)如果已知学生答对了如果已知学生答对了,问他确问他确实知道正确答案的概率实知道正确答案的概率?
