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1、1/32第二节第二节 常数项级数收敛的判别法常数项级数收敛的判别法一、正项级数及其收敛性判别法一、正项级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法二、交错级数及其收敛性判别法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛四、小结、思考题、作业四、小结、思考题、作业2/32一、正项级数及其收敛性判别法一、正项级数及其收敛性判别法1.1.定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:基本定理（正项级数收敛判别法则）基本定理（正项级数收敛判别法则）.ns正正项项级级数数收收
2、敛敛部部分分和和所所成成的的数数列列有有（上上）界界部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.ns推广：推广：同号级数同号级数3/32 例例 1.判定判定 的敛散性的敛散性.1121nn解解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由基本定理知由基本定理知,故级数的部分和故级数的部分和,21n 1 该正项该正项级数收级数收敛敛.由于由于4/32且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛；反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散.证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分
3、和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.比较判别法比较判别法nvvv 215/32nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕定理证毕.比较判别法的不便比较判别法的不便:须有参考级数须有参考级数.6/32解解,1 p设设,11nnp.级级数数发发散散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnpp
4、xdxxdx12117/32 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.p 则则级级数数收收敛敛 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何几何(等比等比)级数级数,p p-级数级数,调和级数调和级数.8/32证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数9/324.4.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收
5、敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu10/32证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.11/32设设 1nnu为为正正项项级级数数,如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散;如如果果有有1 p,使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.1/pnvn取12/32解解)1(n
6、nnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.13/32则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即14/32,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛,1 取取,1 r使使,时时
7、当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu发散发散15/32达朗贝尔判别法的优点达朗贝尔判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(2.若用达朗贝尔判别法判定级数发散若用达朗贝尔判别法判定级数发散级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零.后面将用到这一点后面将用到这一点.1.适用范围：适用范围：中中nunn 或关于或关于含有含有!的若干连乘积的若干连乘积(或商或商)的形式的形式.,)1(时时 注注16/32,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnn
8、nauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna1limlim.nnnnnuau而不存在因为：因为：17/32解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn18/32),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值判别法失效比值判别法失效,改用比较判别法改用比较判别法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn19/32例例.利用级数收敛性利用级数收
9、敛性,证明证明.0)!(lim2 nnnn证证 考查级数考查级数,)!(12 nnnn由于由于nnnuu1lim nnnnnnn221)!()!1()1(lim nnnn1111lim0 故级数故级数 收敛收敛.12)!(nnnn由由级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件知知,.0)!(lim2 nnnn1 20/32设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果 nnnulim)(为数或为数或,则则1 时时级级数数收收敛敛;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1)(0 n级数收敛级数收敛.1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.21/32二、交错级数及其收敛性判别法二、交
10、错级数及其收敛性判别法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其其中中22/32证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u,01 nnuu.lim12ussnn ,0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns23/32)(limlim12212 nnnnnuss,s.,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,
11、.1 nnur定理证毕定理证毕.24/3225/32解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又.0 原级数收敛原级数收敛.一个基本例子：一个基本例子：11(1)!nnn 交交错错级级数数收收敛敛26/32三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.证明证明),2,1()(21 nuuvnnn令令,0 nv显显然然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11
12、nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.27/32上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定定义义:若若 1nnu收收敛敛,则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛;若若 1nnu发散发散,而而 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛.28/32例例 6 6 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性.解解,1sin22nnn,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.29/32 判别级数判别级数 是否收敛是否收敛?如果如果收敛收敛,是绝对收敛还是条件收敛是绝对收敛还是条件收敛?)1si
13、n(12 nn 早期研究生考试题早期研究生考试题解解 因为因为 nnn1sin2 nnn 1sin)1(2)1sin(2 n)1(sin2nnn )1sin(12 nn nnnn 1sin)1(21 为为交错级数交错级数.正正nnn 1sincos2 nnn 1cossin2 30/32nnu lim 121sin)1(nnnn 12)1sin(nn 121sinnnn 根据根据比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:12)1sin(nn 知知发散发散.即原级数即原级数不是绝对收敛不是绝对收敛.nnnn11sinlim2 ,2 n1(1)31/32)1sin(lim2 nn 因为因为)1si
14、n(12 nn nnnn 1sin)1(21 为为交错级数交错级数.由于由于0(2)nnun 1sin2 所以级数所以级数 收敛收敛,)1sin(12 nn 且为且为条件收敛条件收敛.故级数满足莱布尼茨定理的两条件故级数满足莱布尼茨定理的两条件,nnnn 1sin)1(lim2 12)1(1)1(sin nunn 32/32通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项这时级数的通项不趋于零不趋于零),对交错级数对交错级数,利用无穷级数的性质利用无穷级数的性质1、2 将级数将级数如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,再看它是否条
15、件收敛再看它是否条件收敛.便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛33/32四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则则级级数数发发
16、散散当当 nun34/32 正项级数正项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序1.0lim nnu2.若若 0lim nnu比值、根值法比值、根值法;若失效若失效3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式4.5.充要条件充要条件6.按基本性质按基本性质7.ssn?比较审敛法比较审敛法发散发散;35/32任意项级数任意项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序3.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)1.0lim nnussn?发散发散2.绝对收敛绝对收敛4.按基本性质按基本性质5.36/32 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?思考题思考题37/32思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如：121nn收敛收敛,11nn发散发散.
